Z-transform

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2023-07) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Z-transformen används inom matematik och signalbehandling för att konvertera tidsdiskreta signaler (en sekvens av reella eller komplexa tal) till en komplexvärd representation i frekvensdomänen. Z-transformen är nära besläktad med fouriertransformen.

Z-transformen motsvaras i den tidskontinuerliga domänen av laplacetransformen.

Definition

Z-transformen av en signal ${\displaystyle x(n)}$ är funktionen ${\displaystyle X(z)}$ och definieras som

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(\{x(n)\})=X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}}$

där ${\displaystyle n}$ är ett heltal och ${\displaystyle z}$ är ett komplext tal.

Om ${\displaystyle x(n)}$ skall konverteras endast för icke-negativa värden av n, kan Z-transformens definition skrivas

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(\{x(n)\})=X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x(n)z^{-n}}$

Den senare kallas ibland för den enkelsidiga Z-transformen och den förra dubbelsidig. Inom signalbehandling används den enkelsidiga om signalen är kausal.

Egenskaper

• Linearitet. Z-transformen av en linjärkombination av två signaler är lika med linjärkombinationen av de två individuella Z-transformerna:

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(\{a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n)\})=a_{1}{\mathcal {Z}}(\{x_{1}(n)\})+a_{2}{\mathcal {Z}}(\{x_{2}(n)\})}$

• Tidsförskjutning av signalen med ${\displaystyle k}$ steg är detsamma som att multiplicera Z-transformen(gäller endast för dubbelsidiga) med ${\displaystyle z^{-k}}$.

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(\{x(n-k)\})=z^{-k}{\mathcal {Z}}(\{x(n)\})}$

• Faltning. Z-transformen av faltningen av två sekvenser är produkten av de två individuella Z-transformerna.

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(\{x(n)\}*\{y(n)\})={\mathcal {Z}}(\{x(n)\}){\mathcal {Z}}(\{y(n)\})}$

• Derivering.

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(\{nx(n)\})=-z{{d{\mathcal {Z}}(\{x(n)\})} \over dz}}$

Den inversa Z-transformen kan beräknas som

${\displaystyle x(n)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}\,dz}$

där ${\displaystyle C}$ är en sluten kurva kring origo som ligger innanför ${\displaystyle X(z)}$:s konvergensradie.

Den diskreta fouriertransformen är ett specialfall av Z-transformen med ${\displaystyle z=e^{j\omega }}$.

Tillämpningar

Z-transformen kan användas för att lösa vissa differensekvationer. En differensekvation på formen

${\displaystyle \sum _{k=0}^{l}a_{k}x(n-k)=b}$

där a₁, ..., a_l, b är konstanter, kan, om man antar att Z-transformen av x är X, transformeras till

${\displaystyle \sum _{k=0}^{l}a_{k}z^{-k}X(z)={\frac {bz}{z-1}}}$

som man sedan kan bryta ut X ur:

${\displaystyle X(z)={\frac {bz}{(z-1)\sum _{k=0}^{l}a_{k}z^{-k}}}.}$

Detta uttryck kan sedan inverstransformeras medelst exempelvis partialbråksuppdelning och tabell eller residykalkyl för att erhålla x.

Se även

• Genererande funktion