Yule–Walker-ekvationerna

Yule–Walker-ekvationerna är en uppsättning ekvationer som uppstår vid skattning av parametrar för en autoregressiv modell för linjär prediktion.

Givet ekvationen

${\displaystyle Y(n)+a_{1}Y(n-1)+a_{2}Y(n-2)+\ldots +a_{N}Y(n-N)=b_{0}X(n)}$,

där ${\displaystyle X(n)}$ är vitt brus, önskas parametrarna ${\displaystyle a_{k}}$ beräknas. Genom att multiplicera bägge leden med ${\displaystyle Y(n-k)}$ fås

${\displaystyle Y(n)Y(n-k)+\ldots +a_{N}Y(n-N)Y(n-k)=b_{0}X(n)Y(n-k)}$

Väntevärdet av de bägge leden blir

${\displaystyle E[Y(n)Y(n-k)+\ldots +a_{N}Y(n-N)Y(n-k)]=E[b_{0}X(n)Y(n-k)]}$

${\displaystyle r_{Y}(k)+a_{1}r_{Y}(k-1)+\ldots +a_{N}r_{Y}(k-N)=b_{0}E[X(n)Y(n-k)]}$

(${\displaystyle r_{Y}(k)}$ är ${\displaystyle Y}$:s autokorrelationsfunktion.) Men eftersom ${\displaystyle Y}$ inte beror av framtida värden av ${\displaystyle X}$ så är

${\displaystyle E[X(n)Y(n-k)]=0,\ k>0}$

vilket ger ekvationen

${\displaystyle a_{1}r_{Y}(k-1)+\ldots +a_{N}r_{Y}(k-N)=-r_{Y}(k)}$

och ekvationssystemet för ${\displaystyle k=1,\ldots ,N}$ (notera att ${\displaystyle r_{Y}}$ är symmetrisk, så ${\displaystyle r_{Y}(-k)=r_{Y}(k)}$)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{Y}(0)&r_{Y}(1)&\cdots &r_{Y}(N-1)\\r_{Y}(1)&r_{Y}(0)&\cdots &r_{Y}(N-2)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{Y}(N-1)&r_{Y}(N-2)&\cdots &r_{Y}(0)\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}r_{Y}(1)\\r_{Y}(2)\\\vdots \\r_{Y}(N)\end{pmatrix}}}$

Ekvationssystem kan lösas med gausseliminering, eller, eftersom matrisen är en Toeplitz-matris, genom Levinson-rekursion.