Yttre mått

Yttre mått är ett begrepp i måtteori som används som hjälp till att definiera mått.

Det går inte att definiera ett mått i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ så att alla mängder är mätbara. Genom att ställa lite mindre krav på måttet får man istället ett yttre mått som uppfyller liknande men svagare krav än för mått. Genom att studera det yttre måttet kan man identifiera en delmängd av ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})}$ som man kallar mätbara mängder. Slutligen kan man visa att det yttre måttet begräsat till de mätbara mängderna i själva verket är ett mått.

Formell definition

Ett yttre mått, ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$, är formellt en funktion definierad på potensmängden ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ över en mängd ${\displaystyle X\,}$ med värdemängd i ${\displaystyle [0,\infty ]}$ (se utökade reella tallinjen) som uppfyller följande:

• Tomma mängden har yttre måttet noll:

${\displaystyle \mu ^{*}(\varnothing )=0;}$

• Monotonicitet; om ${\displaystyle A\subset B\subset X}$ så är

${\displaystyle \mu ^{*}(A)\leq \mu ^{*}(B)}$

• Subadditivitet: om ${\displaystyle A_{1}\,}$, ${\displaystyle A_{2}\,}$, ${\displaystyle A_{3}\,}$, ... är en uppräknelig följd av mängder i ${\displaystyle X\,}$, så gäller

${\displaystyle \mu ^{*}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{i}).}$

Koppling till vanliga mått

Motivationen för namnet yttre mått är att man kan definiera storleken för alla mängder. Men med några yttre mått, likaså Lebesguemåttet och Hausdorffmåttet, finns icke-mätbara mängder som inte är ”resonliga” att mäta. Man vill nu kunna definiera ett vanligt mått utifrån ett yttre mått.

Därför måste man sortera ”dåliga” och ”bra” mängder för yttre mått så at vi fått ett mått. Vi kallar de ”bra” mängderna mätbara.

Mer precist, om ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$ är ett yttre mått i ${\displaystyle X\,}$, kallas mängden ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$-mätbar, om det för alla ${\displaystyle E\subset X}$ gäller att

${\displaystyle {\mu }^{*}(E)={\mu }^{*}(E\cap A)+{\mu }^{*}(E\setminus A)\,}$.

Detta kallas för Carathéodorys kriterium.

För mätbara mängder är yttre måttet samma sak som måttet. Med exakta ord, om ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$ är ett yttre mått i ${\displaystyle X\,}$ och

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{{\mu }^{*}}(X):=\lbrace A\subset X\mid A{\mbox{ är }}{\mu }^{*}{\mbox{-mätbara}}\rbrace ,}$

är funktionen

${\displaystyle \mu :=\mu ^{*}|{\mathcal {M}}_{\mu ^{*}}(X)}$

ett mått, det vill säga ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{{\mu }^{*}}(X)}$ är en sigma-algebra, tomma mängden har måttet noll och ${\displaystyle \mu \,}$ är sigma-additiv.

Eftersom alla nollmängder är ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$-mätbara är ${\displaystyle \mu \,}$ också ett fullständigt mått.

Exempel

Man använder ofta olika yttre mått, exempelvis:

• Yttre Lebesguemåttet
• Yttre Hausdorffmåttet
• Yttre Favardmåttet

Speciella yttre mått

Beroende på vilken sorts rum ett yttre mått verkar på finns det vissa egenskaper som gör det lättare att hantera, exempelvis:

• Ett yttre mått är regelbundet, om vi kan approximera alla mängder med mätbara mängder.
• Ett yttre mått i ett topologiskt rum är Borel om alla Borelmängder är mätbara.
• Ett yttre mått i ett topologiskt rum är Borel-regelbundna om vi kan approximera alla mängder med Borelmängder.
• Ett yttre mått i ett metriskt rum är metriskt om det yttre måttet är additiv för mängder som har positivt avstånd.

Konstruktion av vissa yttre mått

Huvudartikel: Carathéodorys konstruktion.

Om ${\displaystyle X\,}$ är ett metriskt rum kan man konstruera ett naturligt yttre mått bara med den metriska strukturen, ett förfarande som kallas Carathéodorys konstruktion. Carathéodorys konstruktion är viktig eftersom man kan konstruera ett yttre mått i alla metriska rum och dessutom konstruera många viktiga yttre mått med metoden, exempelvis yttre Hausdorffmåttet och yttre Lebesguemåttet.

Informellt skapas det yttre måttet genom att måttet (testmåttet) för en samling enkla mängder (testmängder) definieras. Ett exempel är att öppna intervall ${\displaystyle (a,b)}$ får måttet ${\displaystyle b-a}$. Alla mängder ${\displaystyle E}$ skall kunna täckas över med testmängderna. Måttet för en övertäckning är summan av måtten för testmängderna. Det yttre måttet av ${\displaystyle E}$ är då måttet av den minsta möjliga övertäckningen (infimum).

Proceduren för att definiera ett mått blir alltså:

1. Testmängder och ett testmått
2. Yttre mått
3. Mått

Den här artikeln ingår i boken:  Måtteori

Referenser

• Halmos, P. (1950), Measure Theory, D. van Nostrand and Co.
• Mattila, P. (1995), Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces, Cambridge University Press.