Wieferichprimtal

Ett Wieferichprimtal är ett primtal p med egenskapen att 2^p-1-1 är delbart med p². (Jämför med Fermats lilla sats, som säger att 2^p-1-1 är delbart med p för alla udda primtal p.) Wieferichprimtal beskrevs först av Arthur Wieferich 1909. Endast två Wieferichprimtal är kända, nämligen 1093 och 3511.

Samband med Fermats stora sats

Följande samband mellan Wieferichprimtal och Fermats stora sats bevisades av Wieferich 1909:

Låt p vara ett primtal och låt x, y och z vara heltal sådana att x^p + y^p + z^p = 0. Antag att produkten xyz inte är delbar med p. Då är p ett Wieferichprimtal.

Samband mellan abc-hypotesen och icke-Wieferichprimtal

Ett icke-Wieferichprimtal är ett primtal p som uppfyller 2^p − 1 ≢ 1 (mod p²). Joseph H. Silverman bevisade 1988 att om abc-hypotesen är sann finns det oändligt många icke-Wieferichprimtal. Mer precist bevisade han att det följer av abc-hypotesen att det existerar en konstant som beror enbart på α så att antalet icke-Wieferichprimtal i bas α (det vill säga primtal p sådana att α^p − 1 ≢ 1 (mod p²)) med p≤x är större än log(x) då x går mot oändligheten. Senare har det visats att existensen av oändligt många icke-Wieferichprimtal följer av en svagare version av abc-hypotesen känd som ABC-(k, ε)-hypotesen. Existensen av oändligt många icke-Wieferichprimtal skulle även följa av existensen av oändligt många kvadratfria Mersennetal. Ännu en obevisad sats av vilken existensen av oändligt många icke-Wieferichprimtal skulle följa är följande: det finns ett reellt tal ξ så att mängden {n ∈ N : λ(2ⁿ − 1) < 2 − ξ} har densitet ett, där ${\displaystyle {\tfrac {\log n}{\log \gamma (n)}}}$ och ${\displaystyle \gamma (n)=\prod _{p\mid n}p}$ är radikalen av n.