Weyls lemma (Laplaces ekvation)

Inom matematiken är Weyls lemma, uppkallad efter Hermann Weyl, ett resultat som säger att varje svag lösning av Laplaces ekvation är en glatt lösning. Detta kan jämföras med vågekvationen som har svaga lösningar som inte är glatta.

Lemmat

Låt ${\displaystyle \Omega }$ vara en öppen delmängd av det ${\displaystyle n}$-dimensionella euklidiska rummet ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, och låt ${\displaystyle \Delta }$ beteckna Laplaceoperatorn. Weyls lemma^[1] säger att om en lokalt integrerbar funktion ${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )}$ är en svag lösning av Laplaces ekvation i betydelsen

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\Delta \phi (x)\,dx=0}$

för varje glatt testfunktion ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ med kompakt stöd, så är ${\displaystyle u}$(efter korrektion på en nollmängd) glatt, det vill säga ${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}$, och uppfyller ${\displaystyle \Delta u=0}$ punktvis i ${\displaystyle \Omega }$.

Av resultatet följer regularitet av harmoniska funktioner över ${\displaystyle \Omega }$, men säger inget om deras regularitet vid randen ${\displaystyle \partial \Omega }$.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Weyl's lemma (Laplace equation), 11 juni 2014.

Noter

Källor

• Gilbarg, David; Neil S. Trudinger (1988). Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Springer. ISBN 3-540-41160-7 
• Stein, Elias (2005). Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton University Press. ISBN 0-691-11386-6