Vridningsinvariant mått

Ett vridningsinvariant mått är inom matematiken ett mått i ortogonalgruppen.

Formell definition

Ortogonalgruppen O(n) är en lokalt kompakt topologisk grupp, så det finns ett unikt Haarmått ${\displaystyle \theta _{n}}$ i O(n):

${\displaystyle \theta _{n}:{\mbox{Bor}}\,O(n)\rightarrow [0,\infty ],}$

där ${\displaystyle {\mbox{Bor}}\,O(n)}$ är Borelalgebran i O(n). Det här mått kallas för ett vridningsinvariant mått.

Exempel

Namnet vridning har en intuitiv förklaring: Om n = 2 så är ortogonalgruppen O(2) mängden av alla vridningar och reflektioner i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (se ortogonalmatris). Så att man kan identifiera det vridningsinvariant måttet ${\displaystyle \theta _{2}\,}$ som det utan konstant 1-dimensionella Hausdorffmåttet, dvs längdmåttet, i sfären ${\displaystyle S^{1}\,}$.

Egenskaper

Det finns ett samband mellan Hausdorffmåttet och vridningsinvarianta måttet. Låt ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ och ${\displaystyle \Upsilon _{x}:O(n)\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$,

${\displaystyle \Upsilon _{x}(g):=g(x)\,}$,

för ${\displaystyle g\in O(n)\,}$. Så att ${\displaystyle \Upsilon _{x}\,}$ är en ${\displaystyle \theta _{n}\,}$-mätbar funktion och

${\displaystyle \Upsilon _{x\#}\theta _{n}(A)={\mathcal {H}}^{n-1}(A),\,}$

för ${\displaystyle A\subset S^{n-1}\,}$ och ${\displaystyle \Upsilon _{x\#}\theta _{n}\,}$ är ${\displaystyle \theta _{n}\,}$ bildmåttet med avseende på ${\displaystyle \Upsilon _{x}\,}$. ${\displaystyle S^{n-1}\,}$ är den n-dimensionella sfären.

Se även

• Ortogonalgrupp
• Grassmannmångfald
• Grassmannmått