Värmeledningsekvationen

Värmeledningsekvationen, även kallad diffusionsekvationen, är en partiell differentialekvation med ett antal tillämpningar i fysiken.

Värmeledningsekvationen kan skrivas

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=k\cdot \nabla ^{2}u,}$

där ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}}$ betecknar förändringshastigheten hos funktionen ${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)}$ med avseende på tiden, och ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ betecknar laplaceoperatorn.

Värmeledningsekvationen kan användas för att beskriva värmespridning i ett kontinuum. Funktionen ${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)}$ betecknar då temperaturen i mediet och ${\displaystyle k}$ är materialets termiska diffusivitet.

Låt funktionen ${\displaystyle u(x,t)}$ beteckna värmen i punkten ${\displaystyle x}$ vid tidpunkten ${\displaystyle t}$. Vi kan då beskriva ${\displaystyle u(x,t)}$ med hjälp av värmeledningsekvationen:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-k\cdot \nabla ^{2}u=0}$

En enkel fysikalisk tolkning av värmeledningsekvationen är att den anger temperaturen i en oändligt tunn stav av längd ${\displaystyle l}$ som ligger längs x-axeln. Låt oss även anta staven är perfekt isolerad runt om så att värmen enbart kan flöde horisontellt i staven.

Normal praxis är att också införa begynnelse- och randvillkor. Begynnelsevillkoret ges av

${\displaystyle u(x,0)=f(x),0<x<l}$

vi låter värmen i stavens ändpunkter ${\displaystyle x=0}$ och ${\displaystyle x=l}$ ges av funktionerna ${\displaystyle h(t)}$ och ${\displaystyle g(t)}$. Randvillkoren brukar de vara av typen Dirichletvillkor som kan beskrivas enligt

${\displaystyle u(0,t)=h(t),t>0}$

${\displaystyle u(l,t)=g(t),t>0}$

men givetvis finns det andra villkor kan införa t.ex. Neumannvillkor.

Vi studerar nu samma system som ovan men nu skulle vi vilja tillföra värme till staven. Låt funktionen ${\displaystyle v(x,t)}$ betecknar den tillförda värmen till staven i punkten ${\displaystyle x}$ vid tidpunkten ${\displaystyle t}$. Funktionen u(x,y) beskrivs då av:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-k\cdot \nabla ^{2}u=v(x,t)}$

För den n-dimensionella värmeledningsekvationen finns det ${\displaystyle n+1}$ oberoende variabler nämligen ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ och tiden ${\displaystyle t}$ och en beroende variabel ${\displaystyle u=u(t,x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ som lyder under ekvationen

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=k\sum _{i\mathop {=} 1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{(\partial x_{i})^{2}}}}$

För att hitta lösningar måste vi använda oss av variabelseparation. Vi antar att lösningen till ${\displaystyle u(x,t)}$ är på formen ${\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t)}$.

Vi deriverar nu fram hur sambandet ser ut

${\displaystyle u'_{t}=u''_{xx}\Leftrightarrow X(x)T'(t)=X''(x)T(t)\Leftrightarrow {\frac {X''(x)}{X(x)}}={\frac {T'(t)}{T(t)}}}$.

Varken höger- eller vänsterledet är beroende av ${\displaystyle x}$ eller ${\displaystyle t}$ därför måste de vara lika med någon konstant ${\displaystyle \lambda }$:

${\displaystyle {\frac {X''(x)}{X(x)}}=\lambda }$ och ${\displaystyle {\frac {T'(t)}{T(t)}}=\lambda }$

Som vi kan skriva om som

${\displaystyle X''(x)=\lambda X(x)}$ resp. ${\displaystyle T'(t)=\lambda T(t)}$

Vi kan nu använda envariabelanalys för att få fram lösningarna till differentialekvationerna med dirchletvillkoren ${\displaystyle u(0,t)=u(l,t)=0}$. Villkoren kan fysiskt ses som att man håller ändpunkterna till en stav till ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle F(x)}$ kommer att få tre olika typer av lösningar beroende på värden av ${\displaystyle \lambda }$:

(1) För ${\displaystyle \lambda <0}$ d.v.s. ${\displaystyle \lambda =-\gamma ^{2}<0}$ ges lösningarna av

${\displaystyle X(x)=A\cosh(\gamma x)+B\sinh(\gamma x)}$:

Randvillkoren ger oss då:

${\displaystyle X(0)=0\Rightarrow A=0}$

${\displaystyle X(l)=0\Rightarrow B=0}$

Alltså existerar inga negativa egenvärden.

(2) För ${\displaystyle \lambda =0}$ ges lösningarna av.

${\displaystyle X(x)=Ax+B}$

Randvillkoren ger oss då:

${\displaystyle X(0)=0\Rightarrow A=0}$

${\displaystyle X(l)=0\Rightarrow B=0}$

Den enda lösningen vi får är ${\displaystyle X(x)=0}$ och enligt definitionen av en egenfunktion är därför ${\displaystyle \lambda =0}$ inte ett egenvärde.

(3) För ${\displaystyle \lambda >0}$ d.v.s. ${\displaystyle \lambda =\beta ^{2}>0}$ ges lösningarna av:

${\displaystyle X(x)=A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x)}$

Randvillkoren ger då

${\displaystyle X(0)=0\Rightarrow A=0}$

${\displaystyle X(l)=0\Rightarrow \sin(\beta l)=0\Rightarrow \beta ={\frac {n\pi }{l}}}$ där ${\displaystyle n}$ ∈ Z⁺

Vi har nu de positiva egenvärdena

${\displaystyle \lambda _{n}=\left({\frac {n\pi }{l}}\right)^{2}}$

med de tillhörande egenfunktionerna

${\displaystyle X_{n}(x)=B_{n}\sin \left({\frac {n\pi }{l}}x\right)}$

Vi har tagit fram att ${\displaystyle \lambda _{n}=-\beta _{n}^{2}={\frac {-n^{2}\pi ^{2}}{l}}}$ så vad gäller lösningar till ${\displaystyle {\frac {T'(t)}{T(t)}}=-\lambda }$ ser vi att de ges av ${\displaystyle T_{n}(t)=Ce^{-\beta _{n}^{2}t}=Ce^{-({\frac {n\pi }{l}})^{2}t}}$

Med detta får vi nu till slut lösningarna

${\displaystyle u_{n}(x,t)=X_{n}(x)T_{n}(t)=B_{n}\sin \left({\frac {n\pi }{l}}x\right)e^{({\frac {n\pi }{l}})^{2}t}}$

• Vågekvationen
• Schrödingerekvationen
• Partiell differentialekvation
• Partiell derivata
• Transportfenomen

• http://staff.www.ltu.se/~larserik/applmath/chap4.pdf
• https://web.archive.org/web/20140515003147/http://www.mai.liu.se/~halun/kurser/TATA51/variabelseparation2010.pdf
• http://www.cmi.ac.in/~vipul/studenttalks/theheatequation.pdf
• http://www.stanford.edu/class/math220b/handouts/heateqn.pdf

• Wikimedia Commons har media som rör Värmeledningsekvationen.
  Bilder & media