Värderum

Värderummet, även känt som kolonnrummet, eller bilden till en linjär avbildning är avbildningens värdemängd.

Värderummet V för en linjär avbildning ${\displaystyle F:\mathbb {U} \rightarrow \mathbb {V} }$ (där ${\displaystyle \mathbb {U} }$ och ${\displaystyle \mathbb {V} }$ är två vektorrum) definieras som:

${\displaystyle V(F)=\{F({\bar {u}})\in \mathbb {V} :{\bar {u}}\in \mathbb {U} \}}$

Det vill säga mängden av alla vektorer i ${\displaystyle \mathbb {V} }$ som nås av ${\displaystyle F}$. Att värderummet gör skäl för sitt namn och inte bara är en delmängd utan även ett underrum till ${\displaystyle \mathbb {V} }$ visas med hjälp av definitionen av en linjär avbildning. Ty om ${\displaystyle {\bar {u}},{\bar {v}}\in V(F)}$ och ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ så existerar det ${\displaystyle {\bar {z}},{\bar {w}}\in \mathbb {U} }$ så att ${\displaystyle {\bar {u}}=F({\bar {z}}),{\bar {v}}=F({\bar {w}})}$ och då gäller:

1. ${\displaystyle {\bar {u}}+{\bar {v}}=F({\bar {z}})+F({\bar {w}})=F({\bar {z}}+{\bar {w}})\Rightarrow {\bar {u}}+{\bar {v}}\in V(F)}$
2. ${\displaystyle \alpha {\bar {v}}=\alpha F({\bar {w}})=F(\alpha {\bar {w}})\Rightarrow \alpha {\bar {v}}\in V(F)}$

Vilket är ekvivalent med att ${\displaystyle V(F)}$ är ett underrum av ${\displaystyle \mathbb {V} }$.

Eftersom ${\displaystyle {\bar {w}}\in \mathbb {U} }$ och således kan skrivas på formen ${\displaystyle {\bar {w}}=x_{1}{\bar {u}}_{1}+x_{2}{\bar {u}}_{2}+...+x_{k}{\bar {u}}_{k}=\mathbf {u} X}$ där ${\displaystyle \mathbf {u} =\left\{{\bar {u}}_{1},{\bar {u}}_{2},...,{\bar {u}}_{k}\right\}}$ är en bas till ${\displaystyle \mathbb {U} }$ så gäller även:

${\displaystyle {\bar {v}}=F({\bar {w}})=F(x_{1}{\bar {u}}_{1}+x_{2}{\bar {u}}_{2}+...+x_{k}{\bar {u}}_{k})=x_{1}F({\bar {u}}_{1})+x_{2}F({\bar {u}}_{2})+...+x_{k}F({\bar {u}}_{k})\in \left[F({\bar {u}}_{1}),F({\bar {u}}_{2}),...,F({\bar {u}}_{k})\right]}$

Det vill säga att ${\displaystyle {\bar {v}}}$ är en linjärkombination av ${\displaystyle F({\bar {u}}_{1}),F({\bar {u}}_{2}),...,F({\bar {u}}_{k})}$ och ${\displaystyle V(F)}$ således spänns upp av det linjära höljet av dessa vektorer, vilket är ekvivalent med att säga att ${\displaystyle V(F)}$ spänns upp av det linjära höljet av kolonnerna i den matris ${\displaystyle A}$ som avbildningen ${\displaystyle F}$ beskrivs av.

Tolkning

Om avbildningen ${\displaystyle F:\mathbb {U} \rightarrow \mathbb {V} }$ kan skrivas med matrisen ${\displaystyle A}$ innebär det att ekvationen ${\displaystyle y=Ax}$ har lösningar om och endast om ${\displaystyle y\in V(F)}$ , det vill säga om ${\displaystyle y}$ faktiskt nås av ${\displaystyle F}$. Detta innebär alltså att om du har ett system som beskrivs av ${\displaystyle y=Ax}$, där ${\displaystyle A}$ är någon slags transform som verkar på en insignal ${\displaystyle x}$ och ger en utsignal ${\displaystyle y}$ t.ex., så är det enbart utsignaler hörandes till värderummet som faktiskt kan erhållas.

Exempel

• Bestäm ${\displaystyle V(F)}$ om ${\displaystyle F}$ är en ortogonalprojektion i ett plan.

Lösning: Vid en ortogonalprojektion projiceras varje vektor ner i planet, alltså att man från en given vektor enbart erhåller den komposant som är parallell med planet. Således består ${\displaystyle V(F)}$ av alla vektorer i planet, ty det är dessa som nås av avbildningen.

• Bestäm ${\displaystyle V(F)}$ om ${\displaystyle F}$ är en vridning med vinkel ${\displaystyle \theta }$ kring en axel i rummet.

Lösning: Varje vektor i rummet kan erhållas genom att vrida någon annan vektor vinkel ${\displaystyle \theta }$, således kan samtliga vektorer nås av avbildningen och ${\displaystyle V(F)}$ utgörs helt enkelt av rummet.

• Bestäm en bas till ${\displaystyle V(F)}$ om ${\displaystyle F:}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ⁴ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ⁴ ges av matrisen ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&-1&-4\\0&1&-1&0\\0&2&-2&0\\1&0&0&-2\end{pmatrix}}}$

Lösning: ${\displaystyle V(F)}$ spänns upp av kolonnerna i ${\displaystyle A}$ och vi finner således en bas till värderummet genom att teckna kolonnernas beroendeekvation och plocka bort eventuella linjärkombinationer. ${\displaystyle \lambda _{1}A_{1}+\lambda _{2}A_{2}+\lambda _{3}A_{3}+\lambda _{4}A_{4}=0}$ (där ${\displaystyle A_{1},...,A_{4}}$ är kolonnerna i ${\displaystyle A}$) ger följande ekvationssystem som löses med stegvis gausselimination:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr|r}2&1&-1&-4&0\\0&1&-1&0&0\\0&2&-2&0&0\\1&0&0&-2&0\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrrr|r}0&1&-1&0&0\\0&1&-1&0&0\\0&1&-1&0&0\\1&0&0&-2&0\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrrr|r}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0\\1&0&0&-2&0\end{array}}\right]\Leftrightarrow {\begin{alignedat}{7}\lambda _{2}&&\;=\;&&\lambda _{3}\\\lambda _{1}&&\;=\;&&2\lambda _{4}\end{alignedat}}}$

${\displaystyle \lambda _{3}=t,\lambda _{4}=s\Rightarrow \lambda _{2}=t,\lambda _{1}=2s}$, det vill säga en parameterlösning med två parametrar vilket innebär att vi kan plocka bort två av kolonnerna utan att påverka vad de spänner upp. Man ser också att ${\displaystyle A_{4}=-2A_{1},A_{3}=-A_{2}}$, alltså att ${\displaystyle A_{3}}$ och ${\displaystyle A_{4}}$ är linjärkombinationer av övriga kolonner och således kan plockas bort. ${\displaystyle A_{1},A_{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}}$ spänner således upp ${\displaystyle V(F)}$ och utgör en bas för värderummet.

Se även

• Nollrum
• Dimensionssatsen
• Värdemängd

Referenser

• Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2013, Matematiska institutionen, Linköpings Universitet

Linjär algebra Grundläggande begrepp Skalär · Vektor · Noll · Ortogonalitet · Ekvationssystem · Rum · Linjärkombination · Inre produkt · Oberoende · Bas · Radrum · Kolonnrum · Nollrum · Gram-Schimdt · Egenvärde · Hölje · Linjäritet Vektoralgebra Kryssprodukt · Trippelprodukt Matriser Elementär · Block · Enhet · Determinant · Norm · Rang · Transformation · Rotation · Invers · Cramers regel · Trappstegsform · Spår · Transponat · Gausselimination · Symmetri · Addition Multilinjär algebra Geometrisk algebra · Yttre algebra · Bivektor · Multivektor · Tensor Konstruktioner Delrum · Dualrum · Funktionsrum · Kvotrum · Tensorprodukt Numerik Flyttal · Gles matris Kategori