Unitär ring

En unitär ring eller ring med etta är en ring R som har ett neutralt element 1_R för multiplikation, alltså ett element 1_R є R, sådant att för varje x є R det gäller att

x·1_R = 1_R·x = x.

Om det inte finns någon risk för sammanblandning, så skriver man ofta 1 i stället för 1_R.

En unitär ringhomomorfism f : R → S mellan två unitära ringar R och S är en ringhomomorfism som också uppfyller att f (1_R) = 1_S . I många sammanhang antages alla betraktade ringar vara unitära, så att "ring" används som synonymt med "unitär ring"; men det är då ändå inte säkert att alla betraktade ringhomomorfier är unitära.

Exempel

Alla skevkroppar är unitära ringar. Speciellt gäller detta alltså för alla kroppar, däribland de vanliga talkropparna Q, R och C, liksom skevkroppen H. Alla principalidealdomäner är unitära ringar, så speciellt gäller detta för Z och för polynomringar som R[x].

Idempotenter i unitära ringar

Om R är en unitär ring, och a∈R är en idempotent i R (och alltså uppfyller likheten a² = a), så är också 1-a en idempotent, eftersom då

(1-a)² = (1-a)·(1-a) = 1·1-1·a-a·1+a·a = 1-a-a+a = 1-a. De två idempotenterna a och 1-a är också "ortogonala" i den meningen att deras produkt är noll:

a·(1-a) = a·a = 0.

Om dessutom R är kommutativ, så kommer då Ra = {ba:b∈R} att utgöra en delmängd av R (eftersom exempelvis

ba+ca = (b+c)a och ba·ca = b·c·a·a = bca.

Denna delring kommer att vara unitär, med 1_Ra = a; men delringen kommer ändå inte att utgöra en "unitär delring", alltså en "delring i unitär mening", om a är skilt från 1.

Unitära och "vanliga" ringhomomorfier mellan unitära ringar

Om R är en unitär ring, och S är en delring av R, som dessutom är unitär, så måste ettan 1_S vara idempotent, det vill säga uppfylla att 1_S·1_S = 1_S. För att S skall vara en delring i unitär mening krävs däremot det starkare villkoret att 1_S = 1_R. Mången unitär ring innehåller andra idempotenter än ettan och nollan, och innehåller därför flera delringar som är unitära men inte delringar i unitär mening. Exempelvis är den cartesiska produkten Z×Z av ringen Z av hela tal med sig själv en unitär ring med komponentvisa operationer, som förutom (1,1) (ettan) och (0,0) (nollan) också har idempotenterna (1,0) och (0,1). Mot dessa svarar delringarna Z×{0} och {0}×Z. Ringhomomorfin f: Z→Z×Z som ges av f(n) = (n,0) är en ringhomomorfi mellan unitära ringar men inte en unitär ringhomomorfi.