Trippelprodukt

Det finns två sorters trippelprodukter av vektorer; den skalära och den vektoriella. Båda handlar om att multiplicera tre vektorer (${\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}},{\textbf {c}}}$) med varandra genom en serie skalär- och kryssprodukter.

Skalär trippelprodukt

Den skalära trippelprodukten definieras som skalärprodukten av den ena vektorn med kryssprodukten av de två andra, det vill säga:

${\displaystyle {\textbf {a}}\cdot ({\textbf {b}}\times {\textbf {c}})=({\textbf {b}}\times {\textbf {c}})\cdot {\textbf {a}}}$

Egenskaper

Vektorerna kan inom produkten flyttas runt cykliskt, det vill säga:

${\displaystyle {\textbf {a}}\cdot ({\textbf {b}}\times {\textbf {c}})={\textbf {b}}\cdot ({\textbf {c}}\times {\textbf {a}})={\textbf {c}}\cdot ({\textbf {a}}\times {\textbf {b}})}$

Byter man ordning i kryssprodukten byter trippelprodukten tecken:

${\displaystyle {\textbf {a}}\cdot ({\textbf {b}}\times {\textbf {c}})=-{\textbf {a}}\cdot ({\textbf {c}}\times {\textbf {b}})}$

Eftersom skalärprudukten är kommutativ gäller även exempelvis:

${\displaystyle {\textbf {a}}\cdot ({\textbf {b}}\times {\textbf {c}})=({\textbf {a}}\times {\textbf {b}})\cdot {\textbf {c}}}$^[1]

Geometrisk tolkning

Den skalära trippelprodukten kan geometriskt tolkas som volymen (med tecken) av parallellepipeden som definieras av de tre vektorerna.

Determinanttolkning

Man kan också tolka den skalära trippelprodukten som determinanten av den matris som har de tre vektorerna som rader eller kolonner.

Vektoriell trippelprodukt

Den vektoriella trippelprodukten är

${\displaystyle {\textbf {a}}\times ({\textbf {b}}\times {\textbf {c}})}$

Egenskaper

Den vektoriella trippelprodukten kan utvecklas med hjälp av Lagranges formel^[2], "BAC-CAB-regeln":

${\displaystyle {\textbf {a}}\times ({\textbf {b}}\times {\textbf {c}})={\textbf {b}}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}})-{\textbf {c}}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}})}$

Bevis

${\displaystyle {\textbf {d}}=(d_{x},d_{y},d_{z})={\textbf {a}}\times ({\textbf {b}}\times {\textbf {c}})=(a_{x},a_{y},a_{z})\times ((b_{x},b_{y},b_{z})\times (c_{x},c_{y},c_{z}))=}$

${\displaystyle =(a_{x},a_{y},a_{z})\times (b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y},\ b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z},\ b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x})}$ ger

${\displaystyle d_{x}=a_{y}b_{x}c_{y}-a_{y}b_{y}c_{x}-a_{z}b_{z}c_{x}+a_{z}b_{x}c_{z}}$,

${\displaystyle d_{y}=a_{z}b_{y}c_{z}-a_{z}b_{z}c_{y}-a_{x}b_{x}c_{y}+a_{x}b_{y}c_{x}}$ och

${\displaystyle d_{z}=a_{x}b_{z}c_{x}-a_{x}b_{x}c_{z}-a_{y}b_{y}c_{z}+a_{y}b_{z}c_{y}}$

Utveckling av ${\displaystyle d_{x}}$ ger:

${\displaystyle d_{x}=a_{y}b_{x}c_{y}-a_{y}b_{y}c_{x}-a_{z}b_{z}c_{x}+a_{z}b_{x}c_{z}=}$

${\displaystyle =a_{y}b_{x}c_{y}-a_{y}b_{y}c_{x}-a_{z}b_{z}c_{x}+a_{z}b_{x}c_{z}+a_{x}b_{x}c_{x}-a_{x}b_{x}c_{x}=}$

${\displaystyle =b_{x}(a_{y}c_{y}+a_{z}c_{z}+a_{x}c_{x})-c_{x}(a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}+a_{x}b_{x})=}$

${\displaystyle =b_{x}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}})-c_{x}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}})}$

På samma sätt får vi:

${\displaystyle d_{y}=b_{y}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}})-c_{y}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}})}$ och

${\displaystyle d_{z}=b_{z}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}})-c_{z}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}})}$, sålunda:

${\displaystyle {\textbf {d}}=(d_{x},d_{y},d_{z})=(b_{x}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}})-c_{x}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}}),\ b_{y}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}})-c_{y}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}}),\ b_{z}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}})-c_{z}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}}))=}$

${\displaystyle =(b_{x}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}}),\ b_{y}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}}),\ b_{z}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}}))-(c_{x}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}}),\ c_{y}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}}),\ c_{z}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}}))=}$

${\displaystyle =(b_{x},\ b_{y},\ b_{z})({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}})-(c_{x},\ c_{y},\ c_{z})({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}})}$

${\displaystyle ={\textbf {b}}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}})-{\textbf {c}}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}})}$

Referenser och noter

Linjär algebra Grundläggande begrepp Skalär · Vektor · Noll · Ortogonalitet · Ekvationssystem · Rum · Linjärkombination · Inre produkt · Oberoende · Bas · Radrum · Kolonnrum · Nollrum · Gram-Schimdt · Egenvärde · Hölje · Linjäritet Vektoralgebra Kryssprodukt · Trippelprodukt Matriser Elementär · Block · Enhet · Determinant · Norm · Rang · Transformation · Rotation · Invers · Cramers regel · Trappstegsform · Spår · Transponat · Gausselimination · Symmetri · Addition Multilinjär algebra Geometrisk algebra · Yttre algebra · Bivektor · Multivektor · Tensor Konstruktioner Delrum · Dualrum · Funktionsrum · Kvotrum · Tensorprodukt Numerik Flyttal · Gles matris Kategori