Triangelolikheten

Triangelolikheten ^[1] är en matematisk olikhet enligt vilken längden av en viss sida i en triangel är mindre än(eller lika med) summan av längderna av de övriga sidorna men större än(eller lika med) differensen mellan dessa sidor (brukar kallas den omvända triangelolikheten).

Den är giltig i en stor uppsättning rum, bland annat för de reella talen.

Normerat vektorrum

I ett normerat vektorrum V kan triangelolikheten skrivas

${\displaystyle \|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|\leq \|\mathbf {x} \|+\|\mathbf {y} \|}$

för alla

${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}$

Likhet gäller om och endast om x och y är parallella.

Reella tallinjen

Den reella tallinjen är ett normerat vektorrum med absolutbeloppet som norm. Triangelolikheten för de reella talen skrivs därmed som

${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}$

Här gäller likhet om x och y har samma tecken.

Komplexa talplanet

Inom komplex analys gäller olikheten

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}$

med likhet om

${\displaystyle \arg(z_{1})=\arg(z_{2})}$.

Dessutom (se följdsatsen nedan) gäller

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\geq {\Big |}|z_{1}|-|z_{2}|{\Big |}}$

med likhet om

${\displaystyle \arg(z_{1})=-\arg(z_{2})}$.

Metriska rum

Triangelolikheten ingår som ett av de definierande axiomen för metriken d i ett metriskt rum ℳ.

Den innebär att summan av avståndet mellan två punkter p och q alltid är mindre eller lika med summan av avstånden mellan punkt p och en godtycklig punkt r, samt avståndet från r till q:

${\displaystyle d(p,q)\leq d(p,r)+d(r,q)}$

där d(p, q) betecknar avståndet mellan p och q. Funktionen d(p, q) : ℳ → ℝ kallas metriken, eller avståndsfunktionen. Notera att det är avståndet mellan två objekt som definierar rummet och inte tvärt om.

Följdsats

Ur triangelolikheten följer att

${\displaystyle {\Big |}\|\mathbf {x} \|-\|\mathbf {y} \|{\Big |}\leq \|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|}$

och

${\displaystyle |d(p,r)-d(r,q)|\leq d(p,q)}$

vilket betyder att normen ||a|| och avståndsmåttet d(a,b) är Lipschitz-kontinuerliga och därmed även kontinuerliga.

Serier och integraler

Triangelolikheten har ett antal följdsatser.

Med induktion man kan visa att

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}$

för x_i ∈ ℝ och n ∈ ℕ.

För absolutkonvergenta serier, det vill säga för

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|\in [0,\infty )}$

finns en triangelolikhet:

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|}$.

För en integral, exempelvis Riemannintegralen, kan man med definitionen av supremum och infimum visa att det finns en triangelolikhet

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|dx}$,

om f(x) är Riemannintegrerbar.

Se även

• Triangel
• Cauchy–Schwarz olikhet
• Pythagoras sats

Referenser