Tjebysjovs funktion

Inom matematiken är Tjebysjovs funktion någondera av två relaterade funktioner. Tjebysjovs första funktion ϑ(x) eller θ(x) definieras som

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$

där summan är över alla primtal p mindre eller lika stora som x.

Tjebysjovs andra funktion ψ(x) har en liknande definition, men summan är istället över alla primtalspotenser mindre eller lika stora som x:

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\lfloor \log _{p}x\rfloor \log p}$

där ${\displaystyle \Lambda }$ är Mangoldtfunktionen. Tjebysjovfunktionerna, speciellt den andra ψ(x), används ofta i samband med primtal eftersom det vanligtvis är lättare att hantera dem än primtalsfunktionen, π(x) Båda funktionerna är asymptotiska till x, vilket är ekvivalent till primtalssatsen.

Båda funktionerna är uppkallade efter Pafnutij Tjebysjov.

Relationer

Tjebysjovs funktioner är relaterade enligt formeln

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta \left(x^{1/n}\right).}$

Notera att summan har bara ändligt många termer, eftersom

${\displaystyle \vartheta \left(x^{1/n}\right)=0{\text{ för }}n>\log _{2}x\,.}$

Alternativa uttryck

Tjebysjovs första funktion är relaterad till logaritmen av primorialen av x, betecknad med x#:

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log(x\#).}$

Det här bevisar att x# är asymptotiskt lika med exp((1+o(1))x).

Tjebysjovs andra funktion är logaritmen av minsta gemensamma nämnaren av talen från 1 till n:

${\displaystyle \operatorname {mgn} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}$

Tillväxt

Följande resultat om Tjebysjovs funktioner är kända: (i följande formler är p_k det kte primtalet, p₁ = 2, p₂ = 3, etc.)

${\displaystyle \vartheta (p_{k})\geq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2.050735}{\ln k}}\right)}$ för ${\displaystyle k\geq 10^{11},}$

${\displaystyle \vartheta (p_{k})\leq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2}{\ln k}}\right)}$ för k ≥ 198,

${\displaystyle |\vartheta (x)-x|\leq 0.006788{\frac {x}{\ln x}}}$ för x ≥ 10,544,111,

${\displaystyle |\psi (x)-x|\leq 0.006409{\frac {x}{\ln x}}}$ för x ≥ exp(22),

${\displaystyle 0.9999{\sqrt {x}}<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}}$ för ${\displaystyle x\geq 121.}$

Under antagande av Riemannhypotesen är

${\displaystyle |\vartheta (x)-x|=O(x^{1/2+\varepsilon })}$

${\displaystyle |\psi (x)-x|=O(x^{1/2+\varepsilon })}$

för alla ${\displaystyle \varepsilon >0.}$

Övre gränser för tillväxten är

${\displaystyle \vartheta (x)<1.01624x}$

${\displaystyle \psi (x)<1.03883x}$

för alla ${\displaystyle x>0.}$

Erhard Schmidt har bevisat att

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\right).}$

Hardy och Littlewood bevisade det starkare resultatet

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\log \log \log x\right).}$

Exakt formel

1895 bevisade Hans Carl Friedrich von Mangoldt en exakt formel för ${\displaystyle \psi (x)}$:

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}$

(Det numeriska värdet av ζ'(0)/ζ(0) är log(2π).) Här går ${\displaystyle \rho }$ över alla icke-triviala nollställen av Riemanns zetafunktion, och ψ₀ är samma funktion som ψ, förutom att vid diskontinuiteterna (primtalspotenserna) är dess värde hälften av värdena till höger och vänster om den:

${\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\frac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\\psi (x)&{\mbox{annars.}}\end{cases}}}$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Chebyshev function, 22 januari 2014.

• ^ Pierre Dusart, "Estimates of some functions over primes without R.H.".
• ^ Pierre Dusart, "Sharper bounds for ψ, θ, π, p_k", Rapport de recherche n° 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The kth prime is greater than k(ln k + ln ln k - 1) for k ≥ 2", Mathematics of Computation, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
• ^ Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp. 195–204.
• ^ G.H. Hardy and J.E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41 (1916) pp. 119–196.
• ^ Davenport, Harold (2000). In Multiplicative Number Theory. Springer. p. 104. ISBN 0-387-95097-4. Google Book Search.
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3