Tjebysjovfilter

Olika ordningars Tjebysjovfilter med epsilon på 0,7 dvs ett passbandsrippel på 1,7dB.

Ett Tjebysjovfilter är inom signalbehandling ett analogt (passivt eller aktivt) eller digitalt låg- eller högpassfilter. Filtret har en branthet som överstiger Butterworthfiltret vid given ordning, men uppvisar i gengäld rippel och större fasvridning i passbandet. Filtret är uppkallat efter Pafnutij Tjebysjov därför att dess matematiska karaktäristik har härletts ur Tjebysjovpolynom.

Rippel

Filterparametern ${\displaystyle \epsilon }$ är relaterad till passbandsripplet ${\displaystyle \gamma }$ i decibel enligt följande

${\displaystyle \epsilon ^{2}=10^{\frac {\gamma }{10}}-1}$

3dB-bandbredden ${\displaystyle f_{H}}$ är relaterad till rippel-bandbredden ${\displaystyle f_{C}}$ enligt:

${\displaystyle f_{H}=f_{C}\cosh \left({\frac {1}{n}}\operatorname {arccosh} {\frac {1}{\epsilon }}\right)}$

Beloppsfunktion

Ett analogt Tjebysjovlågpassfilter har magnituden:

${\displaystyle |H|^{2}={\frac {1}{1+\epsilon ^{2}T_{n}^{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)}}}$

där ${\displaystyle T_{n}(\omega /\omega _{0})}$ är Chebyshevpolynomen definierade av

${\displaystyle T_{n}({\tfrac {\omega }{\omega _{0}}})=\cos(n\cdot \arccos {\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}),\quad 0\leq {\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}\leq 1}$

${\displaystyle T_{n}({\tfrac {\omega }{\omega _{0}}})=\cosh(n\cdot \operatorname {arccosh} {\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}),\quad {\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}>1}$

Överföringsfunktion

Ett analogt lågpassfilters överföringsfunktion kan allmänt skrivas:

${\displaystyle H(s)={\frac {A_{0}}{(1+a_{1}s+b_{1}s^{2})(1+a_{2}s+b_{2}s^{2})...(1+a_{n}s+b_{n}s^{2})}}={\frac {A_{0}}{\prod _{i=1}^{n}(1+a_{i}s+b_{i}s^{2})}}}$

där ${\displaystyle A_{0}}$ är förstärkningen vid dc (dvs ${\displaystyle \omega =0}$).

Vid Chebychevfilter ser de tre första ordningarnas polynom i nämnaren, för 1dB rippel i passbandet, ut som följer (${\displaystyle \epsilon =0.5089}$):

${\displaystyle n=1;\quad s+1.965}$
${\displaystyle n=2;\quad s^{2}+1.098s+1.103}$
${\displaystyle n=3;\quad (s+0.494)(s^{2}+0.494s+0.994)}$

Exempel: Aktivt analogt andra ordningens lågpassfilter

Ett realiseringsexempel

Kopplingen till höger realiserar (${\displaystyle A_{0}=1}$):

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\omega _{0}C_{1}(R_{1}+R_{2})s+\omega _{0}^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}s^{2}}}}$

där alltså

${\displaystyle a_{1}=\omega _{0}C_{1}(R1+R2)=1.098/1.103\ }$

och

${\displaystyle b_{1}=\omega _{0}^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}=1/1.103\ }$

När man designar filtret så antar man lämpligtvis kondensatorerna och räknar sedan fram resistorerna.

Filtrets karaktäristik

jw-metoden ger:

${\displaystyle H(j\omega )={\frac {1}{((1-b_{i}\omega ^{2})+ja_{i}\omega )}}}$

vars beloppsfuntion blir

${\displaystyle |H|={\frac {1}{\sqrt {(1-b_{i}\omega ^{2})^{2}+(a_{i}\omega )^{2}}}}}$

och fasfunktion

${\displaystyle Arg(H)=-\arctan \left({\frac {a_{i}\omega }{1-b_{i}\omega ^{2}}}\right)}$

Om man sedan sätter ${\displaystyle \omega =\omega /\omega _{0}}$ får man en relativ uppskattning av filtrets karaktäristik.

Se även

• Butterworthfilter
• Besselfilter
• Bikvadratiskt filter

Källor

• Millman Jacob, Grabel Arvin, Microelectronics, Second Edition, 1988, Singapore
• Texas Instruments, Active Filter Design Techniques, Chapter 16.