Tensoralgebra

En tensoralgebra är en matematisk konstruktion med ett flertal tillämpningar inom områden såsom linjär algebra, algebra och differentialgeometri såväl som inom fysiken. Den är en graderad algebra som kan sägas innehålla alla tensorer av godtycklig rang över ett givet vektorrum.

I den här artikeln antas alla algebror vara unitära och associativa.

Konstruktion

Låt V vara ett vektorrum över en kropp K. För varje icke-negativt heltal r kan man bilda tensorpotensen

${\displaystyle T^{r}(V)=\bigotimes _{i=1}^{r}V=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{r{\text{ faktorer}}}.}$

Här ska den tomma tensorprodukten tolkas som K betraktad som vektorrum över sig självt. Tensoralgebran T(V) definieras som den direkta summan av alla tensorpotenser

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{r=0}^{\infty }T^{r}(V).}$

Den multiplikativa strukturen ges av den naturliga isomofin

${\displaystyle T^{r}(V)\otimes T^{s}(V)\longleftrightarrow T^{r+s}(V)}$

utvidgad till T(V) genom linjäritet. Detta gör T(V) till en graderad algebra där underrummet av grad r ges av T^r(V).

På samma sätt konstruerar man tensoralgebran över en R-modul E, där R är en kommutativ ring. I det allmännare fallet då R inte är kommutativ krävs att E är en R-R-bimodul för att tensorprodukterna ska vara definierade.

Presentation

Ett annat, mindre konkret sätt att konstruera tensoralgebran T(V) över vektorrummet V är att utgå från den fria algebran F(V) över mängden av element i V. Låt ι : V → F(V) beteckna den kanoniska injektionen av V i F(V). Då är T(V) kvoten av F(V) med idealet genererat av relationerna

${\displaystyle \iota (u)+\iota (v)=\iota (u+v),\qquad a\iota (u)=\iota (au),\qquad u,v\in V,\ a\in K.}$

Universell egenskap

Vektorrummet V kan betraktas som ett linjärt underrum till tensoralgebran T(V). Följande universella egenskap gör att man kan betrakta T(V) som den mest generella K-algebran som har V som underrum: För varje linjär funktion f:V → A, där A är en K-algebra, finns en entydigt bestämd utvidgning av f till en K-algebrahomomorfism f_T:T(V) → A. Konkret ges utvidgningen f_T av

${\displaystyle f_{T}(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})=f(v_{1})\cdots f(v_{r}).}$

Den universella egenskapen säkerställer att T är en funktor från kategorin av vektorrum över K till kategorin av K-algebror. Funktorn T är vänsteradjunkt till den glömska funktor som tar varje K-algebra till sitt underliggande vektorrum.

Icke-kommutativa polynom

Om V har en bas v₁, ..., v_n, så kan tensoralgebran T(V) tolkas som algebran av polynom över n icke-kommuterande variabler, eller ekvivalent den fria algebran över mängden av baselement.

Kvotalgebror

Eftersom tensoralgebror är så generella kan de ofta användas som utgångspunkt för konstruktionen av andra intressanta algebror. Formellt görs detta genom att man tar kvoten av en tensoralgebra med idealet genererat av en uppsättning relationer. Några exempel på detta är:

• Yttre algebra
• Symmetrisk algebra
• Universell envelopperande algebra
• Clifford-algebra