Teleskoperande serie

Teleskoperande serie eller teleskopsumma är en matematisk serie med egenskapen att nästan alla termer tar ut varandra när serien summeras. Låt ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty {}}}$ vara en talföljd. En teleskoperande summa är en summa på formen

${\displaystyle \sum _{n=1}^{m}a_{n}-a_{n+1}}$.

Ett enkelt induktionsbevis visar att

${\displaystyle \sum _{n=1}^{m}a_{n}-a_{n+1}=a_{1}-a_{m+1}}$.

Om vi dessutom antar att ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow {}\infty }a_{n}=L}$ får vi

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty {}}a_{n}-a_{n+1}=\lim _{m\rightarrow {}\infty {}}\sum _{n=1}^{m}a_{n}-a_{n+1}=\lim _{m\rightarrow {}\infty {}}a_{1}-a_{m+1}=a_{1}-L}$

varav summan är konvergent och lika med ${\displaystyle a_{1}-L}$.

Ett enkelt exempel är serien

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(n-1)}}=\lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=2}^{N}{\frac {1}{n(n-1)}}=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+...+{\frac {1}{N(N-1)}}}$

där man kan skriva om varje term enligt

${\displaystyle {\frac {1}{n(n-1)}}={\frac {n-(n-1)}{n(n-1)}}={\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}}$.

Genom att sätta in detta i serien får man nu

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}=\lim _{N\rightarrow \infty }1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+...+{\frac {1}{N-1}}-{\frac {1}{N}}=\lim _{N\rightarrow \infty }1-{\frac {1}{N}}=1}$.