Tarski-monstergrupp

Inom matematiken är en Tarski-monstergrupp, uppkallad efter Alfred Tarski, en oändlig grupp G så att varje äkta delgrupp H av G, annan än identitetgruppen, är en cyklisk grupp av ordning p där p är ett fixerat primtal p. A. Yu. Olshanskii bevisade 1979 att Tarski-monstergrupper existerar, och att det finns en Tarski p-grupp för varje primtal p > 10⁷⁵. Tarskigrupper kan användas som motexempel i många problem inom gruppteori, exempelvis i Burnsides problem och von Neumanns förmodan.

Definition

Låt ${\displaystyle p}$ vara ett fixerat primtal. En oändlig grupp ${\displaystyle G}$ säges vara en Tarski–monstergrupp för ${\displaystyle p}$ om varje icke trivial delgrupp (det vill säga annan delgrupp än 1 och G) har ${\displaystyle p}$ element.

Egenskaper

• ${\displaystyle G}$ är ändligt genererad. Den är genererad av två godtyckliga icke-kommuterande element.
• ${\displaystyle G}$ är enkel. Om ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ och ${\displaystyle U\leq G}$ är en godtycklig delgrupp skild från ${\displaystyle N}$ skulle delgruppen ${\displaystyle NU}$ ha ${\displaystyle p^{2}}$ element.
• Konstruktionen av Ol'shanskii visar att det finns kontinuum-många icke-isomorfiska Tarski–monstergrupper för varje primtal ${\displaystyle p>10^{75}}$.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Tarski monster group, 23 mars 2013.

• A. Yu. Olshanskii, An infinite group with subgroups of prime orders, Math. USSR Izv. 16 (1981), 279–289; translation of Izvestia Akad. Nauk SSSR Ser. Matem. 44 (1980), 309–321.
• A. Yu. Olshanskii, Groups of bounded period with subgroups of prime order, Algebra and Logic 21 (1983), 369–418; translation of Algebra i Logika 21 (1982), 553–618.
• Ol'shanskiĭ, A. Yu. (1991), Geometry of defining relations in groups, Mathematics and its Applications (Soviet Series), "70", Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-1394-6