Tangentfyrhörning

En tangentfyrhörning eller en omskriven fyrhörning är en fyrhörning i vilken en cirkel kan inskrivas, alltså en cirkel som invändigt tangerar alla fyra sidorna.^[1] Medelpunkten hos denna cirkel ligger i skärningspunkten för bisektriserna till de fyra hörnvinklarna. Dessa bisektriser skär inte varandra i en punkt i alla fyrhörningar, utan endast i de fyrhörningar som kan ha en inskriven cirkel. Att bisektrisernas skär varandra är således ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att en fyrhörning ska ha en inskriven cirkel.^[2]

Exempel på tangentfyrhörningar är drake, romb och kvadrat. En fyrhörning är en tangentfyrhörning om och endast om dess konsekutiva sidor a, b, c och d uppfyller a + c = b + d (se figuren till höger), vilket kallas Pitots sats.^[2]

De viktigaste storheterna hos en tangentfyrhörning uttrycks inte i sidornas längder utan i de fyra tangentlängderna.^[3] Med tangentlängderna menas avstånden från de fyra hörnen till de punkter på sidorna där den inskrivna cirkeln tangerar sidorna. De fyra tangentlängderna som utgår ifrån hörnen A, B, C, D betecknas e, f, g, h respektive (se nedre figuren till höger). Då gäller formlerna nedan.

En tangentfyrhörning med tangentlängderna e, f, g, h har arean^[4]

${\displaystyle K={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.}$

Den i en tangentfyrhörning inskrivna cirkeln har en radie som ges av^{[4][5]:Lemma 2}

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}}$

där e, f, g, h är tangentlängderna.

Hörnvinklarna i en tangentfyrhörning ABCD kan uttryckas i tangentlängderna e, f, g, h som^{[3]:Theorem 8}

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.}$

Längderna på diagonalerna p = AC och q = BD i en tangentfyrhörning ABCD ges av^{[5]:Lemma 3}

${\displaystyle \displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )}}},}$

${\displaystyle \displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )}}}}$

där e, f, g, h är tangentlängderna.

• Cyklisk fyrhörning