Tangenssatsen

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Tangenssatsen är inom trigonometrin en sats som anger sambandet mellan två sidor och deras motstående vinklar för en godtycklig triangel:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta ))}{\tan({\frac {1}{2}}(\alpha +\beta ))}}}$

Ovanstående samband gäller för godtyckliga sidor ${\displaystyle a}$ och ${\displaystyle b}$ samt godtyckliga vinklar ${\displaystyle \alpha }$ och ${\displaystyle \beta }$.

Bevis

Enligt sinussatsen gäller

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}}$

Låt

${\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},}$

så att

${\displaystyle a=d\sin \alpha {\text{ och }}b=d\sin \beta \,}$

Av detta följer

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}$

Genom att använda den trigonometriska identiteten för summa till produkt

${\displaystyle \sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),\;}$

erhålls

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}}$

Se även

• Areasatsen
• Sinussatsen
• Cosinussatsen