Tangens

Tangens
Basegenskaper
Paritet	Udda
Definitionsmängd	x ≠ (k + ½)π, k∈ℤ
Värdemängd	(−∞,∞)
Period	π
Särskilda värden
Maxima	∞ (ingen)
Minima	–∞ (ingen)
Särskilda egenskaper
Kritisk punkt	Ingen
Inflexionspunkt	kπ, k∈ℤ
Fixpunkt	0

Tangens (tan, ibland tg) är en trigonometrisk funktion och definieras som ^[1]

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}}$

Alternativt kan tangens definieras med hjälp av en rätvinklig triangel

med vinkeln α mellan en katet och hypotenusan. Tangens för α är förhållandet mellan längden av motstående katet och längden av närstående katet:

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a}{b}}}$

Om z är komplext gäller

${\displaystyle \tan z={\cfrac {e^{-\mathrm {i} z}-e^{\mathrm {i} z}}{\mathrm {i} (e^{-\mathrm {i} z}+e^{\mathrm {i} z})}}}$

Tangensfunktionen definieras också av serieutvecklingen

${\displaystyle \tan x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ;\,\,|x|<{\frac {\pi }{2}}}$

Egenskaper

Samband mellan vinklar

${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\cfrac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}}$

${\displaystyle \tan(\alpha -\beta )={\cfrac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}}$

${\displaystyle \tan(2\alpha )={\cfrac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}}$

${\displaystyle \tan {\cfrac {\alpha }{2}}={\cfrac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }}}$

${\displaystyle \tan(\alpha +\beta +\gamma )={\cfrac {\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \,\tan \beta \,\tan \gamma }{1-\tan \beta \,\tan \gamma -\tan \gamma \,\tan \alpha -\tan \alpha \,\tan \beta }}}$

${\displaystyle \tan \left(\sum _{1}^{N}=i\,\theta _{n}\right)={\cfrac {\prod _{n=1}^{N}(1-i\tan \theta _{n})-\prod _{n=1}^{N}(1+i\tan \theta _{n})}{\prod _{n=1}^{N}(1+i\tan \theta _{n})+(\prod _{n=1}^{N}(1-i\tan \theta _{n})}}}$

Derivata

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x={\cfrac {2}{\cos 2x+1}}}$

Integral

${\displaystyle \int \tan x\,dx=-\ln \cos x+C}$

Se även

• Tangenssatsen
• Trigonometriska identiteter

Referenser

Noter