Talföljd

En talföljd (följd, progression) är en ändlig eller oändlig följd av tal, vanligen betecknad med hjälp av index som

Definitioner

Talen kallas talföljdens element. Talföljden kan betraktas som en funktion f från de positiva heltalen till alla tal, .

En talföljd kan betecknas Ofta används den kortare beteckningen .

Notera att talen i följden inte behöver ha olika värden. Ett exempel på detta är talföljden vilket ger talföljden .

Att beskriva en talföljd

Talföljden kan anges med en explicit formel, till exempel

.

Den kan också anges genom en rekursionsformel, där varje element uttrycks med hjälp av det föregående elementet , tillsammans med startvärdet, till exempel

Typer

En talföljd kallas

  • växande om för alla n

och strängt växande om för alla n

  • avtagande om för alla n

och strängt avtagande om för alla n

  • monoton om den är antingen växande eller avtagande,
  • oändlig om n kan anta hur stora värden som helst,
  • begränsad upptill om det finns ett tal M sådant att för alla n
  • begränsad nedtill om det finns ett tal m sådant att för alla n

Konvergens och divergens

Om talen i en oändlig talföljd närmar sig ett bestämt tal b, kallas talföljden konvergent och b kallas talföljdens gränsvärde:

En följd som inte är konvergent kallas divergent.

Exempel:

  • är konvergent med gränsvärdet 0;
  • är konvergent med gränsvärdet 0;
  • är divergent;
  • är divergent.

En (oändlig) decimalutveckling är en konvergent talföljd. Betrakta t.ex. det rationella talet och dess decimalutveckling ; den senare står för den konvergenta följden vars gränsvärde är 25/33.

Vanliga talföljder

  • En aritmetisk talföljd: differensen mellan två på varandra följande element är konstant.
Exempel:
  • En geometrisk talföljd: kvoten mellan två på varandra följande element är konstant.
Exempel:
  • Fibonacciföljden: Följden av Fibonaccital, där varje element är summan av de båda närmast föregående.

Se även

Externa länkar

Media som används på denna webbplats

Fibonacci spiral 34.svg
Fibonacci spiral with square sizes up to 34