Tätpunkt

Tätpunkt är ett begrepp inom måtteori. Tätpunkter är punkter som har mycket "massa" i sin omgivning.

Formell definition

Låt ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu ,d)}$ vara ett metriskt måttrum så att måttet ${\displaystyle \mu \,}$ är Borel. För ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ och ${\displaystyle x\in X}$ beteckna A:s yttre täthet i x som

${\displaystyle {\overline {\Theta }}_{\mu }(A,x):=\limsup _{r\downarrow 0}{\frac {\mu (A\cap B_{r}(x))}{\mu (B_{r}(x))}},}$

och A:s inre täthet i x som

${\displaystyle {\underline {\Theta }}_{\mu }(A,x):=\liminf _{r\downarrow 0}{\frac {\mu (A\cap B_{r}(x))}{\mu (B_{r}(x))}}.}$

där ${\displaystyle B_{r}(x)\,}$ är en boll med avseende på metriken ${\displaystyle d\,}$.

Mängden A har en täthet i x om

${\displaystyle \Theta _{\mu }(A,x):={\underline {\Theta }}_{\mu }(A,x)={\overline {\Theta }}_{\mu }(A,x).\,}$

En punkt ${\displaystyle x\in X}$ är en tätpunkt om

${\displaystyle \exists \Theta _{\mu }(A,x)=1.}$

Motivationen för talet 1 ovan är att till exempel med Lebesguemåttet är tätheten

${\displaystyle 0\leq \Theta _{{\mathcal {L}}_{n}}(A,z)\leq 1,}$

för alla ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Tillämpningar

• En måtteoretisk rand är definierad med hjälp av tätpunkter.

• Lebesgues tätpunktsats säger att nästan alla punkter i en Lebesguemätbar mängd är tätpunkter.

s-dimensionella tätpunkter

Om ${\displaystyle (X,d)\,}$ är ett separabelt metriskt rum och ${\displaystyle s\geq 0}$ är för ${\displaystyle A\in {\mbox{Bor}}\,X}$ och ${\displaystyle x\in X}$ A:s s-dimensionella yttre täthet i x

${\displaystyle {\overline {\Theta }}^{s}(A,x):=\limsup _{r\downarrow 0}{\frac {{\mathcal {H}}^{s}(A\cap B_{r}(x))}{r^{s}}},}$

och A:s inre täthet i x

${\displaystyle {\underline {\Theta }}^{s}(A,x):=\liminf _{r\downarrow 0}{\frac {{\mathcal {H}}^{s}(A\cap B_{r}(x))}{r^{s}}},}$

där ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}}$ är s-dimensionellt Hausdorffmåttet.

Mängden A har en s-dimensionell täthet i x om

${\displaystyle \Theta ^{s}(A,x):={\underline {\Theta }}^{s}(A,x)={\overline {\Theta }}^{s}(A,x).\,}$

En punkt ${\displaystyle x\in X}$ är en s-dimensionell tätpunkt för A om

${\displaystyle \exists \Theta ^{s}(A,x)=1.}$

Om ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ och ${\displaystyle s=n\,}$ är

${\displaystyle \Theta ^{n}=\Theta _{{\mathcal {H}}^{n}}.}$

Å andra sidan när ${\displaystyle s\neq n\,}$ finns det många Borelmängder A och punkter x när

${\displaystyle \Theta ^{s}(A,x)\neq \Theta _{{\mathcal {H}}^{s}}(A,x),}$

eftersom

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(B_{r}(x))={\begin{cases}+\infty &{\mbox{om }}s<n\\0&{\mbox{om }}s>n\end{cases}},}$

d.v.s. Hausdorffdimensionen för ${\displaystyle B_{r}(x)\,}$ är n.

s-dimensionella tätpunkter har tillämpningar i geometrisk måtteori.

Se även

• Måtteori

Referenser

• Kaimanovich, V. "Measure-theoretic boundaries of Markov chains, 0-2 laws and entropy", Proc. Harmonic Analysis and Discrete Potential Theory, 1991