Tät mängd

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2019-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

En tät mängd är inom topologi och matematisk analys en delmängd ${\displaystyle A}$ till ett topologiskt rum ${\displaystyle X}$ så att i varje omgivning till varje element ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle X}$ finns ett element ur ${\displaystyle A}$.

Ekvivalent uttryckt är en delmängd ${\displaystyle A}$ tät i ${\displaystyle X}$ om ${\displaystyle X}$ är den minsta slutna mängd som innehåller hela ${\displaystyle A}$, dvs det slutna höljet till ${\displaystyle A}$ är ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\bar {A}}=X}$

som även kan användas som villkor för att ${\displaystyle A}$ är tät i ${\displaystyle X}$ om ${\displaystyle X}$ är ett metriskt rum.

Exempel

• De rationella och de irrationella talen är var för sig täta delmängder i de reella talen.
• Med avståndsfunktionen ${\displaystyle d(f,g)=\max _{t\in [a,b]}(|f(t)-g(t)|)}$ är polynomfunktionerna täta i mängden kontinuerliga funktioner på ${\displaystyle [a,b]}$. Däremot är de kontinuerliga funktionerna på samma intervall inte täta i mängden av alla funktioner.

Se även

• Separabelt rum