Svag konvergens

Svag konvergens är ett matematiskt begrepp i funktionalanalys och syftar på en speciell typ av konvergens i Banach- och Hilbertrum.

Definition

En följd av punkter ${\displaystyle x_{n}}$ i ett Banachrum X sägs konvergera svagt till x om

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(x)}$

för alla begränsade linjära funktionaler f, dvs alla f i dualrummet X'.

Att ${\displaystyle x_{n}}$ konvergerar svagt till x skrivs:

${\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x}$

Speciellt kan man i ett Hilbertrum H uttrycka svag konvergens som att ${\displaystyle x_{n}}$ konvergerar svagt till x om

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\langle x_{n},y\rangle =\langle x,y\rangle }$

för alla y i H, där ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ är den inre produkten. Detta kommer av att varje linjär begränsad funktional i ett Hilbertrum kan representeras med hjälp av den inre produkten och ett y i H som ovan, enligt Riesz representationssats.

Svag kontra stark konvergens

Svag konvergens kan jämföras med det vanliga konvergensbegreppet, stark konvergens eller konvergens i norm. En följd ${\displaystyle x_{n}}$ i ett Banachrum sägs konvergera stark till x om

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|=0}$

där ${\displaystyle \|\cdot \|}$ är normen i Banachrummet. Dessa två konvergensbegrepp definierar två olika topologier på rummet. Topologin inducerad av svag konvergens kallas svag topologi.

Egenskaper

Om en följd ${\displaystyle x_{n}}$ konvergerar svagt till x kan man visa att många egenskaper som gäller för starkt konvergenta följder gäller även för ${\displaystyle x_{n}}$:

• Gränsvärdet x är unikt.
• Varje delföljd av ${\displaystyle x_{n}}$ konvergerar svagt till x.
• Följden ${\displaystyle \|x_{n}\|}$ är begränsad.
• Om ${\displaystyle y_{n}\rightharpoonup y}$ gäller att ${\displaystyle \alpha x_{n}+\beta y_{n}\rightharpoonup \alpha x+\beta y}$.

Stark konvergens implicerar svag konvergens:

${\displaystyle x_{n}\to x\Rightarrow x_{n}\rightharpoonup x.}$

Det omvända gäller i ändligtdimensionella vektorrum, men inte i allmänhet. En svagt konvergent följd behöver alltså inte vara starkt konvergent men om den är det så är det svaga och starka gränsvärdet samma.

Om x_n konvergerar svagt till x gäller

${\displaystyle \|x\|\leq \liminf _{n\to \infty }\|x_{n}\|.}$

Referenser

• Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 
• Conway, John (1985). A Course in Functional Analysis. Springer Verlag. ISBN 0-387-96042-2