Students t-fördelning

Fördelningsfunktion för Students t-fördelning.

Students t-fördelning eller t-fördelningen är en statistisk fördelning som används främst för att testa signifikans för undersökningar med små populationer. Students t-fördelning närmar sig normalfördelningen när populationerna blir stora.

Historik

T-fördelningen utvecklades av statistikern och kemisten William Sealy Gosset som arbetade på bryggeriföretaget Guinness på Irland. Han använde fördelningen för att kunna göra kvalitetskontroll av ölen med begränsade stickprov. För att inte avslöja användningsområdet för denna industriella tillämpning publicerade han sina resultat under pseudonymen Student. Statistikern Ronald Fisher utökade senare teorin med den täthetsfunktion som används i dagens beräkningar.

Uppkomst

Antag att X1, ..., Xn är statistiskt oberoende slumpmässigt utvalda variabler som är normalfördelade med ett väntevärde μ och variansen σ2. Låt

vara det uppmätta medelvärdet och

vara den uppmätta variansen. Det går då att visa att kvantiteten

är normalfördelad med medelvärdet 0 och variansen 1 (vilket kan skrivas N(0,1)), eftersom det uppmätta medelvärdet är normalfördelat med medelvärdet och standardavvikelsen . Gosset studerade en relaterad kvantitet,

och visade att T har täthetsfunktionen

.

Fördelningen av T kallas nu för t-fördelningen med frihetsgrader och betecknas vanligen . Fördelningen beror på stickprovsstorleken , men inte på eller ; oberoendeförhållandet gentemot och är vad som gör t-fördelningen viktig i såväl teori som praktik. Symbolen betecknar den så kallade Eulers gammafunktion och är en generalisering av den så kallade fakultets-funktionen till att gälla reella tal; exempelvis är och är ett positivt heltal.

Tabell över utvalda värden

Följande tabell är en lista över t-fördelningen med ν=n-1 frihetsgrader (angivna i vänster kolumn) för olika konfidensnivåer (angivna i tabellhuvudet), för enkelsidiga och dubbelsida konfidensintervall.

Notera den sista raden med oändligt många frihetsgrader som ger en avgörande poäng: en t-fördelning med oändligt många frihetsgrader är en normalfördelning i enlighet med centrala gränsvärdessatsen.

Enkelsidig75%80%85%90%95%97,5%99%99,5%99,75%99,9%99,95%
Dubbelsidig50%60%70%80%90%95%98%99%99,5%99,8%99,9%
11.0001.3761.9633.0786.31412.7131.8263.66127.3318.3636.6
20.8161.0611.3861.8862.9204.3036.9659.92514.0922.3331.60
30.7650.9781.2501.6382.3533.1824.5415.8417.45310.2112.92
40.7410.9411.1901.5332.1322.7763.7474.6045.5987.1738.610
50.7270.9201.1561.4762.0152.5713.3654.0324.7735.8936.869
60.7180.9061.1341.4401.9432.4473.1433.7074.3175.2085.959
70.7110.8961.1191.4151.8952.3652.9983.4994.0294.7855.408
80.7060.8891.1081.3971.8602.3062.8963.3553.8334.5015.041
90.7030.8831.1001.3831.8332.2622.8213.2503.6904.2974.781
100.7000.8791.0931.3721.8122.2282.7643.1693.5814.1444.587
110.6970.8761.0881.3631.7962.2012.7183.1063.4974.0254.437
120.6950.8731.0831.3561.7822.1792.6813.0553.4283.9304.318
130.6940.8701.0791.3501.7712.1602.6503.0123.3723.8524.221
140.6920.8681.0761.3451.7612.1452.6242.9773.3263.7874.140
150.6910.8661.0741.3411.7532.1312.6022.9473.2863.7334.073
160.6900.8651.0711.3371.7462.1202.5832.9213.2523.6864.015
170.6890.8631.0691.3331.7402.1102.5672.8983.2223.6463.965
180.6880.8621.0671.3301.7342.1012.5522.8783.1973.6103.922
190.6880.8611.0661.3281.7292.0932.5392.8613.1743.5793.883
200.6870.8601.0641.3251.7252.0862.5282.8453.1533.5523.850
210.6860.8591.0631.3231.7212.0802.5182.8313.1353.5273.819
220.6860.8581.0611.3211.7172.0742.5082.8193.1193.5053.792
230.6850.8581.0601.3191.7142.0692.5002.8073.1043.4853.767
240.6850.8571.0591.3181.7112.0642.4922.7973.0913.4673.745
250.6840.8561.0581.3161.7082.0602.4852.7873.0783.4503.725
260.6840.8561.0581.3151.7062.0562.4792.7793.0673.4353.707
270.6840.8551.0571.3141.7032.0522.4732.7713.0573.4213.690
280.6830.8551.0561.3131.7012.0482.4672.7633.0473.4083.674
290.6830.8541.0551.3111.6992.0452.4622.7563.0383.3963.659
300.6830.8541.0551.3101.6972.0422.4572.7503.0303.3853.646
400.6810.8511.0501.3031.6842.0212.4232.7042.9713.3073.551
500.6790.8491.0471.2991.6762.0092.4032.6782.9373.2613.496
600.6790.8481.0451.2961.6712.0002.3902.6602.9153.2323.460
800.6780.8461.0431.2921.6641.9902.3742.6392.8873.1953.416
1000.6770.8451.0421.2901.6601.9842.3642.6262.8713.1743.390
1200.6770.8451.0411.2891.6581.9802.3582.6172.8603.1603.373
0.6740.8421.0361.2821.6451.9602.3262.5762.8073.0903.291

Externa länkar

Media som används på denna webbplats

Question book-4.svg
Författare/Upphovsman: Tkgd2007, Licens: CC BY-SA 3.0
A new incarnation of Image:Question_book-3.svg, which was uploaded by user AzaToth. This file is available on the English version of Wikipedia under the filename en:Image:Question book-new.svg
Student densite best.JPG
Författare/Upphovsman: The original uploader was Thorinfranska Wikipedia., Licens: CC BY-SA 1.0

production personelle.

Usage et reproduction libre