Stieltjeskonstanter

Inom matematiken är Stieltjeskonstanterna ${\displaystyle \gamma _{n}}$ en serie konstanter som förekommer i Laurentexpansionen av Riemanns zetafunktion:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}.}$

Den nollte konstanten ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma =0.577\dots }$ är känd som Eulers konstant.

Representationer

Stieltjeskonstanterna ges av ett gränsvärde

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}.}$

(Fallet n = 0 kräver att den första summanden erfordrar evalveringen 0⁰, vilket antas vara 1.)

Cauchys differentialformel leder till integralrepresentationen

${\displaystyle \gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.}$

Numeriska värden

De första värdena är

För stora n så ökar Stieltjeskonstanterna snabbt i absoluta värden och ändrar tecken i ett komplext mönster.

Över 10000 siffror i decimalutvecklingarna, för numeriska värden av Stieltjeskonstanter upp till n = 100000, har beräknats av Johansson. De numeriska värdena kan hämtas från LMFDB [1].

Asymptotisk ökning

Stieltjeskonstanter uppfyller

${\displaystyle |\gamma _{n}|<{\frac {4(n-1)!}{{\pi }^{n},}}}$

vilket bevisades av Berndt. En mycket tätare gräns, giltig för ${\displaystyle n\geq 10}$, gavs av Matsuoka:

${\displaystyle |\gamma _{n}|<0.0001e^{n\log \log n}}$

Knessl och Coffey gav en formel som efterliknar Stieltjeskonstanter exakt för stora n. Om v är den unika lösningen av

${\displaystyle 2\pi \exp(v\tan v)=n{\frac {\cos(v)}{v}}}$

med ${\displaystyle 0<v<\pi /2}$, och om ${\displaystyle u=v\tan v}$, så är

${\displaystyle \gamma _{n}\sim {\frac {B}{\sqrt {n}}}e^{nA}\cos(an+b)}$

där

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\log(u^{2}+v^{2})-{\frac {u}{u^{2}+v^{2}}}}$

${\displaystyle B={\frac {2{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}{[(u+1)^{2}+v^{2}]^{1/4}}}}$

${\displaystyle a=\tan ^{-1}\left({\frac {v}{u}}\right)+{\frac {v}{u^{2}+v^{2}}}}$

${\displaystyle b=\tan ^{-1}\left({\frac {v}{u}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{u+1}}\right).}$

Upp till ${\displaystyle n=10^{5}}$ förmodar Knessl–Coffey approximation med korrekt tecken, med det enda undantaget för ${\displaystyle n=137}$.

Generaliserade Stieltjeskonstanter

Mer generellt kan man definiera Stieltjeskonstanter ${\displaystyle \gamma _{k}(a)}$ som förekommer i Laurentserien som utvidgning av Hurwitzs zeta-funktion:

${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(a)\;(s-1)^{n}.}$

Låt a vara ett komplext tal med Re(a) > 0. Eftersom Hurwitzs zeta-funktion är en generalisering av Riemanns zeta-funktion har vi

${\displaystyle \gamma _{n}(1)=\gamma _{n}.\;}$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Stieltjes constants, 17 januari 2014.

Källor

• Weisstein, Eric W., "Stieltjes Constants", MathWorld. (engelska)
• Plouffe, Simon. ”Stieltjes Constants, from 0 to 78, 256 digits each”. http://www.plouffe.fr/simon/constants/stieltjesgamma.txt. 
• Kreminski, Rick (2003). ”Newton-Cotes integration for approximating Stieltjes generalized Euler constants”. Mathematics of Computation 72 (243): sid. 1379–1397. doi:10.1090/S0025-5718-02-01483-7. 
• Coffey, Mark W. (2009). ”Series representations for the Stieltjes constants”. https://arxiv.org/abs/0905.1111. 
• Coffey, Mark W. (2010). ”Addison-type series representation for the Stieltjes constants”. J. Number Theory 130: sid. 2049–2064. doi:10.1016/j.jnt.2010.01.003. 
• Knessl, Charles; Coffey, Mark W. (2011). ”An effective asymptotic formula for the Stieltjes constants”. Math. Comp. 80 (273): sid. 379–386. doi:10.1090/S0025-5718-2010-02390-7. 
• Johansson, Fredrik (2013). ”Rigorous high-precision computation of the Hurwitz zeta function and its derivatives”. https://arxiv.org/abs/1309.2877.