Spektrum (funktionalanalys)

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Inom funktionalanalysen är spektrumet för en operator en generalisering av egenvärdesbegreppet, som är mycket mer användbar i fallet med oändligt-dimensionella rum. Till exempel saknar heltalsskiftoperatorn på Hilbertrummet ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$ egenvärden, men det gäller allmänt att en begränsad linjär operator på ett komplext Banachrum har icke-tomt spektrum.

Definition

Låt ${\displaystyle X}$ vara ett komplext Banachrum. Då är spektrumet för en begränsad linjär operator ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$en delmängd av de komplexa talen betecknad ${\displaystyle \sigma (T)}$. Per definition gäller att ${\displaystyle \lambda \not \in \sigma (T)}$ om och endast om ${\displaystyle \lambda I-T}$ är inverterbar samt ${\displaystyle (\lambda I-T)^{-1}}$ är en begränad operator på ${\displaystyle X}$.

Här betecknar ${\displaystyle I}$ identitetsoperatorn på ${\displaystyle X}$.