Spektrum (algebraisk geometri)

Ett spektrum är inom algebraisk geometri och kommutativ algebra ett topologiskt rum som består av mängden av primideal i en given ring, utrustad med Zariskitopologin. På detta topologiska rum finns en naturligt definierad kärve av ringar.

Definition

Låt ${\displaystyle R}$ vara en kommutativ ring. Då är ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ mängden av primideal i ${\displaystyle R}$ med topologin som genereras av mängderna

${\displaystyle D_{f}=\{p\in \operatorname {Spec} (R)|f\not \in p\}}$

Låter vi sedan ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} (R)}(D_{f})=R_{f}}$, lokaliseringen av ${\displaystyle R}$ med avseende på potenser av ${\displaystyle f}$, definierar detta en kärve på ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$.

Funktorialitet

En ringhomomorfism ${\displaystyle f:R\rightarrow S}$ ger upphov till en avbildning ${\displaystyle f^{*}:\operatorname {Spec} (S)\rightarrow \operatorname {Spec} (R)}$ genom att sända ett primideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset S}$ till dess förbild ${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {p}})\subset R}$. Detta är också ett primideal och alltså en punkt i ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$. Dessutom är ${\displaystyle f^{*}}$ kontinuerlig. Denna operation är kompatibel med sammansättning av ringhomomorfismer i meningen att

${\displaystyle (f\circ g)^{*}=g^{*}\circ f^{*}}$.

Detta innebär att ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ är en (kontravariant) funktor från kategorin av ringar till kategorin av topologiska rum.

Användningsområden

I modern algebraisk geometri är spektra av ringar en lokal modell för algebraiska varieteter.

Referenser

• Hartshorne, Robin (1997). Algebraic Geometry. Springer Verlag. sid. 70. ISBN 0-387-90244-9