Sinussatsen

Sinussatsen är inom trigonometrin en sats om trianglar. För en triangel med sidlängderna a, b och c, och med de motstående vinklarna betecknade med α, β och γ enligt

så gäller enligt sinussatsen att^[1]

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}}$

Det tvetydiga fallet

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Vid tillämpning av sinussatsen existerar ett tvetydigt fall där två olika trianglar svarar mot den givna beskrivningen om det enda som är känt om triangeln är vinkeln A och sidorna a och b.

Det finns då två möjliga värden för vinkeln B beroende på vinkeln C:

${\displaystyle B=\arcsin {b\sin A \over a}}$

eller

${\displaystyle B=180^{\circ }-\arcsin {b\sin A \over a}}$

Härledning

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Antag en triangel med sidorna a, b och c och med de motstående vinklarna A, B och C. En linje med längden h och vinkelrät mot sidan c är dragen från hörnet C till motstående sida c eller sidan c:s förlängning.

Då är

${\displaystyle \sin A={\frac {h}{b}}}$

och

${\displaystyle \;\sin B={\frac {h}{a}}}$

Vilket är ekvivalent med

${\displaystyle h=b\,\sin A=a\,\sin B}$

och

${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}}$

Om linjen dras mellan vinkeln A och sidan a och samma procedur upprepas blir resultatet

${\displaystyle {\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}$

Se även

• Areasatsen
• Cosinussatsen
• Tangenssatsen

Referenser