Signalförstärkning

Elektrisk förstärkning kallas en aktiv, linjär ökning av en signal så att en högre effekt erhålls. Detta uppträder när man skickar in en signal på en förstärkare och får en större signal på utgången. En vanlig standardkomponent som används vid förstärkning är operationsförstärkaren (OP) men även diskreta transistorer används, ävensom andra metoder. Spänningsökning med transformator kallas inte förstärkning, eftersom strömmen minskar, och effekten de facto minskas.

Operationsförstärkaren

Det finns två typer av förstärkning. Dels råförstärkningen som operationsförstärkaren har vid i öppet tillstånd, utan motkoppling, dels den motkopplade förstärkningen i datablad ofta betecknad A_v som kan utläsas "voltage amplification".

En förstärkare förstärker inte alltid elektrisk spänning utan kan förstärka både strömstyrka och en kombination av ström och spänning. Det allra vanligaste i fallet småsignal är dock att förstärkaren förstärker spänning även om utgångsimpedansen ofta är mycket lägre än den drivande impedansen så att man på detta sätt även får en strömförstärkning.

När det gäller operationsförstärkarens spänningsförstärkning, finns det två grundkopplingar enligt figur. Den ena är den "icke-inverterande förstärkarkopplingen", den andra är den "inverterande förstärkarkopplingen".

I framställningen nedan förutsätts närmast ideala operationsförstärkare, med försumbart strömbehov på ingångarna, försumbar olinjäritet, extremt hög råförstärkning och inget behov av frekvenskompensering eller offset. En ingång är positiv (icke-inverterande) och en negativ (inverterande), kopplade som differentialförstärkare för spänning, med en positiv utgång. Många verkliga förstärkare har dock annorlunda egenskaper.

Icke-inverterande koppling

I denna koppling kopplas en del av utsignalen tillbaka till minus-ingången. Denna signal får ingångsspänningen att minska och vi har då en negativ återkoppling. Spänningen in på själva operationsförstärkaren kan tecknas:

${\displaystyle e=U_{in}-\beta U_{out}\ }$

där

${\displaystyle \beta ={\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}}$

Samtidigt har vi

${\displaystyle Fe=U_{out}\ }$

Efter eliminering av e och algebraisk utveckling har vi slutligen

${\displaystyle {\frac {U_{out}}{U_{in}}}=A_{v}={\frac {F}{1+\beta F}}}$

och om

${\displaystyle \beta F>>1\ }$

så blir förstärkningen

${\displaystyle A_{v}={\frac {1}{\beta }}={\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}}}}$

och alltså enbart beroende av resistanserna R1 och R2. Eftersom råförstärkningen, F, för många standardförstärkare är i storleksordningen 100 dB eller 100 000 så blir förstärkningen i alla praktiska fall när nog exakt 1/β.

En spänningsföljare kan skapas genom att utesluta R1, och låta R2 vara hur litet som helst. Denna har egenskapen att replikera inspänningen och kunna driva en utgångslast med stark ström utan att belasta signalkällan.

Inverterande koppling

Man kan på liknande sätt visa att förstärkningen för den inverterande kopplingen blir:

${\displaystyle A_{v}=-{\frac {R_{2}}{R_{1}}}}$

Alternativt kan man se kopplingen som sådan att plusingången är jordad och att e motsvarar en extremt liten potential då råförstärkningen, F, normalt är så ofantligt stor. Impedansen mellan plus och minus är samtidigt normalt mycket stor (se arkitekturen nedan). Vi har med andra ord fått en virtuell jord.

När vi konstaterat detta kan vi titta på kopplingen med andra ögon. Strömmen in, I_in, blir

${\displaystyle I_{in}={\frac {U_{(in)}}{R_{1}}}}$

Och denna ström måste även gå genom R2 då ingen ström kan gå in på den högimpediva minusingången. Utgången måste alltså gå negativ och eftersom det är samma ström är utspänningen proportionell mot de båda motstånden enligt inledande formel ovan.

Operationsförstärkarens frekvensberoende

Ovanstående resonemang håller endast då frekvensen är låg eller då återkopplingen är stor. I själva verket avtar råförstärkningen både tidigt och snabbt med frekvensen. Vanligast är att överföringsfunktionens Laplacetransform har polen som en enkelpol runt något tiotal hertz. Råförstärkningen avtar då med 20 dB/dekad men operationsförstärkaren kan ha fler poler varvid råförstärkningen avtar ännu snabbare. Så länge som antalet poler är mindre än tre så är förstärkaren stabil vid alla grader av återkoppling. Vissa operationsförstärkare måste dock frekvenskompenseras med en kondensator för att kunna användas vid 0 dB förstärkning (läs som spänningsföljare dvs med R1 i den icke-inverterade kopplingen borttagen). Viss frekvenskompensering görs i förstärkarkopplingen, annan på speciella anslutningar som tillverkaren har förberett för ändamålet.

Råförstärkningen är alltså alltid beroende av frekvensen. Man har infört en beteckning kallad GBW eller Gain Bandwidth Product, förstärkningsbandbreddsprodukt. Detta tal motsvarar operationsförstärkarens bandbredd vid 0 dB förstärkning. För att få bandbredden vid vald förstärkning delar man helt enkelt GBW med den förstärkning man vill ha och får då en lägstauppskattning av bandbredden för den förstärkningen. Detta gäller oavsett hur många poler OP:n har.

Eftersom råförstärkningen är så stor så behöver man normalt inte bry sig om OP:ns frekvensberoende. Det är främst vid kombinationen stor förstärkning och hög frekvens som speciella begränsningar uppkommer. Detta gäller exempelvis vid förstärkning av små signaler från pick-up'er eller dynamiska mikrofoner. I sådana fall kan hög förstärkning åstadkommas med kaskadkoppling av förstärkare.

Konstruktionsexempel

Antag att vi har en standard operationsförstärkare med en maxförstärkning på 100 dB och en enkelpol eller bandbredd på 10 Hz. En sådan förstärkare har då överföringsfunktionen

${\displaystyle F(s)={\frac {F_{0}}{1+s/w_{0}}}}$

med absolutbeloppet

${\displaystyle |F(f)|={\frac {10^{5}}{\sqrt {1+({\frac {f}{10}})^{2}}}}}$

Säg sedan att vi önskar förstärka 40 dB eller 100 gånger för vår mikrofon. Vi har då

${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}=100}$

Eftersom råförstärkningen faller 20 dB/dekad och således når 0 dB fem dekader efter enkelpolen har vi

${\displaystyle {\rm {GBW=10^{6}\ }}}$ eller 1 MHz.

Enligt resonemanget ovan hamnar vi således på en bandbredd på endast

${\displaystyle f_{0}={\frac {\rm {GBW}}{1/\beta }}={\frac {10^{6}}{100}}=10\ {\rm {kHz}}}$

vid 100 gångers förstärkning.

Märk dock att vi har ökat den effektiva bandbredden 1 000 gånger tack vare motkopplingen.

Offset

Trots att ingångstransistorerna tillverkas på samma chip blir de inte helt lika. Även vid exakt samma inspänning blir det ofta en intern differens som förstärks enligt förstärkningsfaktorn. Denna avvikelse kallas offset är ofta i storleksordningen 5 mV.

Det finns ett antal sätt att justera offset. Bilden till höger visar två generella sätt. Vissa operationsförstärkare har dock separata ingångar för offset-justering. Dessutom kommer den motkopplade förstärkningen, A_v, att påverkas något i den icke-inverterande kopplingen (men inte alls i den inverterande kopplingen). Men då R är så litet (i storleksordningen 100 Ω) i jämförelse med övriga komponenter kan påverkan ofta försummas.

Offset behöver alltså justeras vid hög förstärkningsfaktor eller där hög precision fordras. Generellt sett är problemet störst vid DC, eftersom ett förstärkarstegs offset inte har samma betydelse vid AC-bruk, lite beroende på hur stegen är kopplade.

Operationsförstärkarens arkitektur och egenskaper

Bilden visar en fullt möjlig realisering av en operationsförstärkare. Skillnaden mellan denna och kommersiella varianter är främst extra förstärkningssteg, strömbegränsning och antalet motstånd.

CMRR

CMRR står för Common Mode Rejection Ratio. Det avser mått på en olinjäritet som kan göra att en viss spänningsdifferens mellan ingångarna kan resultera i olika utsignal vid olika signalspänning, fast den skulle vara identisk. Den beräknas med en common-mode signal som är en gemensam signal, och en skillnadssignal (differentiell signal), och denna kvot anges av tillverkaren som CMRR.^[1] Common-mode-signalen kan ses som en störningskälla som skapar distorsion av den differentiella signalen, "meddelandesignalen", som är den signal man vill förstärka. Detta är aktuellt i en miljö med störningar som påverkar bägge insignalsledningarna. Om man använder en instrumentförstärkare kan man eliminera common-mode delen av signalen och förstärka den differentiella signalen, det vill säga spänningsskillnaden mellan två punkter.^[2]

CMRR kan räknas ut på följande sätt (se figur):

Vid drain på T1 eller T2 har vi (se signalförstärkning medels FET-transistor nedan)

${\displaystyle U_{D}(V_{DM}/2)=V_{DM}/2*{\frac {\mu R_{D}}{R_{D}+R_{d}}}}$

Detta för att T3's impedans inte märks för differentiella signaler. För gemensamma signaler fås en förstärkning:

${\displaystyle U_{D}(V_{CM})=V_{CM}*{\frac {\mu R_{D}}{R_{D}+R_{d}+(\mu +1)2r_{o}}}}$ där r_o är strömspegelns dvs T3's utgångsimpedans.

CMRR definieras som kvoten mellan förstärkning av skillnadssignal (Avdm/2) och gemensam signal (Avcm) enligt:

${\displaystyle CMRR={\frac {\mu R_{D}}{R_{D}+R_{d}}}/{\frac {\mu R_{D}}{R_{D}+R_{d}+(\mu +1)2r_{o}}}={\frac {R_{D}+R_{d}+(\mu +1)2r_{o}}{R_{D}+R_{d}}}}$

Där r_o kan vara väldigt stor. Speciellt om emitterresistans används. Utan emitterresistans, såsom i figur, blir r_o endast av storleksordningen 100 kΩ dvs transistor T3's utgångsimpedans. Det kan dock visas att även med ett måttligt emittermotstånd kan effektiv impedans vara av storleksordningen MΩ (megaohm).

PSRR

PSRR står för Power Supply Rejection Ratio. I förstärkaren ovan används en strömspegel (T3 och T4). När matningsspänningen (V_cc-V_ss) ökar kommer strömmen genom R att öka. Detta får till följd att strömspegelströmmen, I_c, ökar. När I_c ökar sjunker potentialen hos T1 och T2's drain. Detta får till följd att det finns en inbyggd automatisk korrigering för förändringar i matningsspänning. En störning i matningsspänningen innebär dessutom en "common-störning" (se V_cm i figur) dvs båda de differentiellt kopplade ingångstransistorerna (T1 och T2) kommer att få en lika stor påverkan i bias. P.g.a. detta är PSRR av samma storleksordning som CMRR, dvs typiskt 100dB för kommersiella operationsförstärkare.

Strömspegel

Det som ovan har kallats strömspegel (eng. Current Mirror) utgörs av transistorerna T3 och T4. Om dessa är lika är strömmen genom R lika med

${\displaystyle I_{r}=2I_{b}+I_{c}=I_{b}(2+\beta )\ }$

Strömmen genom R kan sedan sättas till:

${\displaystyle I_{r}={\frac {V_{CC}-V_{SS}-V_{BE}}{R}}\ }$

Denna ström är mer eller mindre exakt den som flyter genom T3 då I_b är lika för de båda transistorerna och β (h_FE) för småsignaltransistorer är av storleksordningen 100.

Nivåskiftare

V_z är en zenerdiod. De kan användas i nivåskiftare. Dess funktion är att minska spänningen utan förluster. Detta för att T1 och T2 behöver en viss spänning mellan drain och source för att ha en lämplig arbetspunkt men detta innebär samtidigt att drainspänningen måste hållas relativt hög då gate alltid dras till jord. I ovanstående fall finns tre bas-emitter-spänningsfall innan V_z behöver beräknas. Dessa spänningsfall kommer av drivtransistorn T5 för zenerdioden samt två i darlingtontransistorn T6 före utgången. Utgången bör hålla 0 volt vid noll volts ingående spänningsdifferens.

Darlingtontransistor

T6 är en kopplad som darlingtontransistor. En darlingtonkopplad transistor består av ytterligare minst en transistor i en seriekoppling som ökar strömförstärkningsfaktorn till produkten av de ingående transistorernas förstärkningar. Dessa transistorer kan vara lika eller olika, NPN eller PNP i olika kombinationer. Om β (h_FE) är lika blir resulterande strömförstärkningen

${\displaystyle A_{I}=(\beta +1)^{2}\ }$

och nästan exakt β för respektive transistor mutiplicerat.

Slew Rate

Slew Rate, SR, är mått på hur snabbt utspänningen kan ändras, alltså brantheten i V/s. Även om inspänningen växlar "oändligt snabbt", behöver utgången tid på sig för spänningsändringen, på grund av inbyggda begränsningar. Denna karaktäristik brukar i tillverkarens datablad anges i V/μs och är intimt förknippad med bandbredden hos operationsförstärkaren. Man kan visa att den så kallade Power Bandwidth, f_p, är:

${\displaystyle f_{p}={\frac {SR}{2\pi E_{(}op)}}}$

där E_op är max utgångssving hos operationsförstärkaren. Detta är alltså den maximala frekvens för en sinussignal som kan återges med maximal amplitud och 1 % distorsion.

En snarlik relation till SR har småsignalsbandbredden, f_o, enligt

${\displaystyle f_{o}={\frac {0,35}{t_{r}}}}$

där t_r är stigtiden hos utgångssignalen (exciterad av en snabbare ingångspuls).

För formens skull kan vi slutligen definiera SR som

${\displaystyle {\rm {{SR}={\frac {dU}{dt}}|max}}}$

det vill säga derivatan av spänningen med avseende på tiden.

Entransistorförstärkare

Bilden visar en spänningsförstärkare som bara består av en enda transistor, en förstärkartyp med gemensam emitter. Dess funktion är alltså att förstärka inkommande spänning (U_in) ett antal gånger för att generera utspänningen (U_ut). Kvoten U_ut/U_in kallas sedan dess spänningsförstärkning eller i normala fall bara förstärkning.

Konstruktionsexempel

Transistorn T1 har en strömförstärkningsfaktor β eller h_FE vanligen överskridande 100 gånger. Denna strömförstärkningsfaktor definieras som kvoten mellan kollektorströmmen, I_c, och basströmmen, I_b. För en viss I_c räcker det med I_b som är I_c/h_FE, alltså ungefär en hundradel.

Om vi nu betänker detta så innebär det att om man ser till så att strömmen genom R_b1 och R_b2 (grovt räknat) är säg, I_c/10 (så klarar vi oss nästan alltid då H_fe ≫ 100 normalt) så kommer vi inte att behöva bekymra oss om den lilla basström som annars skulle sänka baspotentialen något utan kan säga att potentialen vid basen är:

${\displaystyle V_{b}=V_{cc}*{\frac {R_{b2}}{R_{b1}+R_{b2}}}}$

När nu baspotentialen är bestämd kan vi bestämma emitterströmmen, I_e, (då ju I_e = I_b + I_c men I_c ≫ I_b varför I_e ≈ I_c) eftersom vi alltid har (för kiseltransistorer) ett bas-emitter-spänningsfall motsvarande crika 0,7 V. Om man tar detta i beräkning så får man, mycket lite förenklat, en kollektorström, I_c, motsvarande baspotentialen, V_b, minus V_be (0,7 V) delat med emittermotståndet, R_e.

Förutom detta är det lämpligt att transistorn, T1, och kollektormotståndet, R_c, delar på övrig spänning (så att utgången kan svinga lika mycket positivt som negativt). Men som vi ska se senare innebär detta i de flesta CE-sammanhang (med hyfsad förstärkning) att spänningen över R_e mer eller mindre kan försummas.

Vi har alltså att:

${\displaystyle I_{c}={\frac {V_{b}-V_{be}}{R_{e}}}}$

och sedan

${\displaystyle R_{c}={\frac {V_{cc}/2}{I_{c}}}}$

Eftersom samma ström, enligt vår definition, flyter genom R_e som genom R_c så förstås nästan intuitivt att förstärkningen blir (se nedan):

${\displaystyle Av={\frac {U_{out}}{U_{in}}}=-{\frac {R_{c}}{R_{e}}}}$

Av erfarenhet så lär man sig sen sätta en biasnivå (V_b) där det finns "plats" (läs spänningsutrymme) för godtycklig, alltså totalt transistoroberoende, förtärkning. Trixet är alltså inte att välja motstånd eller ström utan trixet är att välja spänningsmässig arbetspunkt.

Nackdelen med denna entransistorförstärkare är att den har hög utgångsimpedans (i praktiken R_c, se nedan) varför det inte går att driva till exempel hörlurar med den. Genom att koppla en darlingtontransistor som emitterföljare (se nedan) på utgången kan man dock få ner både belastningen på entransistorförstärkaren och dess utgångsimpedans så att det blir fullt möjligt att driva en hörlur med endast "två" transistorer per kanal.

Signalförstärkning medels FET-transistor

Signalförstärkning kan göras med hjälp av en FET-transistor. Se vidstående figur.

Kirchhoffs spänningslag säger att

${\displaystyle I_{d}R_{d}+I_{d}r_{d}-\mu V_{gs}+I_{d}R_{s}=0\ }$

och

${\displaystyle V_{gs}=V_{in}-I_{d}R_{s}\ }$

vilket ger

${\displaystyle I_{d}={\frac {\mu V_{in}}{r_{d}+R_{d}+(\mu +1)R_{s}}}}$

Vo1 och Vo2 tas från drain (D) till jord respektive från source (S) till jord. Således är:

${\displaystyle Vo1=-I_{d}R_{d}={\frac {-\mu R_{d}V_{in}}{r_{d}+R_{d}+(\mu +1)R_{s}}}}$

och

${\displaystyle Vo2=I_{d}R_{s}={\frac {\mu R_{s}V_{in}}{r_{d}+R_{d}+(\mu +1)R_{s}}}}$

Spänningsförstärkningen vid Vo2 blir (GD=Gemensam Drain eller sourceföljare)

${\displaystyle Av2={\frac {Vo2}{V_{in}}}={\frac {\mu R_{s}}{r_{d}+R_{d}+(\mu +1)R_{s}}}=((\mu +1)R_{s}>>(r_{d}+R_{d}))={\frac {\mu }{\mu +1}}=1}$

och spänningsförstärkningen vid Vo1 blir (GS=Gemensam Source)

${\displaystyle Av1={\frac {Vo1}{V_{in}}}={\frac {-\mu R_{d}}{r_{d}+R_{d}+(\mu +1)R_{s}}}=(R_{s}=0)={\frac {-\mu R_{d}}{r_{d}+R_{d}}}}$

och kortslutningsströmmen vid samma nod blir

${\displaystyle -I_{sc}=I_{d}(Rd=0)={\frac {\mu V_{in}}{r_{d}+(\mu +1)R_{s}}}}$

då blir

${\displaystyle Ro1'={\frac {Vo1}{I_{sc}}}=Rd//[r_{d}+R_{s}(\mu +1)]=(R_{s}=0)=R_{d}//r_{d}}$

På samma sätt blir

${\displaystyle Ro2'={\frac {Vo2}{I_{d}(R_{s}=0)}}=R_{s}//{\frac {R_{d}+r_{d}}{\mu +1}}=(R_{d}=0)=R_{s}//{\frac {r_{d}}{\mu +1}}=(\mu >>1)=R_{s}//{\frac {1}{gm}}}$

På anoden ser man alltså i GS-fallet drain-resistansen, rd, summerat med den förstärkta sourceresistansen (u+1)Rs.

På katoden ser man på samma sätt i GD-fallet drain-resistansen, rd, summerat med den externa drainresistansen, Rd, med dess summa dämpad u+1 ggr.

Ovanstående ekvationer är lika giltiga för rörkopplingar.

Signalförstärkning medels BJT-transistor

Signalförstärkning kan göras med en BJT-transistor (bipolär transistor). Se vidstående figur.

${\displaystyle Vo1=-IoRc=-gmVpiRc\ }$

${\displaystyle Vo2=(Ib+gmVpi)Re\ }$

${\displaystyle Vpi=Ibr_{pi}\ }$

Kirchhoffs spänningslag säger att

${\displaystyle -Vs+Ib(Rs+r_{pi})+(Ib+gmVpi)Re=0\ }$

och potentialen på basen blir

${\displaystyle Vb=Ibr_{pi}+(Ib+gmVpi)Re=Ibr_{pi}+(Ib+gmIbr_{pi})Re\ }$

Strömförstärkningen blir

${\displaystyle A_{I}==Io/Ib=gmVpi/Ib=gmIbr_{pi}/Ib=gmr_{pi}==\beta _{0}\ }$

Ingångsimpedansen Ri blir:

${\displaystyle Ri=Vb/Ib=r_{pi}+(1+\beta _{0})Re\ }$

Nu kan vi uttrycka källan Vs på ett annat sätt:

${\displaystyle Vs=Ib(Rs+r_{pi})+(Ib+gmIbr_{pi})Re=Ib(Rs+r_{pi}+(1+\beta _{0})Re)\ }$

Även baspotentialen kan förenklas till:

${\displaystyle Vb=Ib(r_{pi}+(1+\beta _{0})Re)\ }$

GE(Gemensam Emitter)-förstärkningen blir:

${\displaystyle Av1=Vo1/Vs=-gmVpiRc/Vs=-gmIbr_{pi}Rc/Vs=-Ib\beta _{0}Rc/Vs=-{\frac {\beta _{0}Rc}{Rs+r_{pi}+(1+\beta _{0})Re}}\ }$

GE-förstärkningen kan också skrivas:

${\displaystyle Av1=-Rc/Re\quad ((1+\beta _{0})Re>>Rs+r_{pi})\ }$

Ro' är i GE-fallet lika med Rc då vi har förenklat modellen något (ro=oändlig).

GK(Gemensam Kollektor)-förstärkningen blir:

${\displaystyle Av2=Vo2/Vs=(Ib+gmVpi)Re/Vs=(Ib+gmIbr_{pi})Re/Vs=Ib(1+\beta _{0})Re/Vs={\frac {(1+\beta _{0})Re}{Rs+r_{pi}+(1+\beta _{0})Re}}\ }$

GK-förstärkningen kallas emitterföljare och kan förenklas till:

${\displaystyle Av2=1\quad ((1+\beta _{0})Re>>Rs+r_{pi})\ }$

Ro' kan i GK-fallet kalkyleras på följande sätt:

I kortslutningsfallet är Re=0:

${\displaystyle Vo2=Av2*Vs(Re=0)={\frac {(1+\beta _{0})Re}{Rs+r_{pi}+(1+\beta _{0})Re}}*Ib(Rs+r_{pi})\ }$

Kortslutningsströmmen Isc kan beräknas enligt

${\displaystyle Isc=Ie=Ib(1+\beta _{0})\ }$

Utgångsimpedansen blir

${\displaystyle Ro'=Vo2/Isc={\frac {(Rs+r_{pi})Re}{Rs+r_{pi}+(1+\beta _{0})Re}}={\frac {(Rs+r_{pi})Re/(1+\beta _{0})}{(Rs+r_{pi})/(1+\beta _{0})+Re}}\ }$

Vilket efter en stund inses vara lika med

${\displaystyle Ro//Re\ }$

där

${\displaystyle Ro={\frac {Rs+r_{pi}}{1+\beta _{0}}}\ }$

eller

${\displaystyle Ro=1/gm\quad (Rs<<r_{pi},\beta _{0}>>1)}$

Emitterföljarens utgångsimpedans är alltså normalt sett beroende av källimpedansen Rs men väldigt nära 1/gm i praktiska fall. Transkonduktansen för bipolära transistorer (BJT:s) är

${\displaystyle gm={\frac {I_{CQ}}{25}}}$ (mA/mV)

där ${\displaystyle I_{CQ}}$ är kollektorströmmen vid vila.

Transkonduktansen gm är alltså ganska stor för BJT:s. Vid 2,5 mA är den till exempel 0,1 S.

Signalförstärkning medels biaserad BJT-transistor

Ovanstående nyckelekvationer repeteras här på grund av lämplighet.

${\displaystyle Vo1=-IoRc=-gmVpiRc\ }$

${\displaystyle Vo2=(Ib+gmVpi)Re\ }$

${\displaystyle Vpi=Ibr_{pi}\ }$

${\displaystyle \beta _{0}=={\frac {Ic}{Ib}}==gmr_{pi}\ }$

I figuren har vi även infört

${\displaystyle Rp={\frac {Rb1*Rb2}{Rb1+Rb2}}}$

Kirchhoffs spänningslag säger att

${\displaystyle Vs=IinRs+(Iin-Ib)Rp=IinRs+Ib(r_{pi}+(1+\beta _{0})Re)(1)\ }$

Eftersom IinRs kan förkortas bort får vi efter lite algebraiskt trixande

${\displaystyle Iin={\frac {Ib(r_{pi}+Rp+(1+\beta _{0})Re)}{Rp}}(2)}$

Strömförstärkningen blir

${\displaystyle A_{I}={\frac {Io}{Iin}}={\frac {gmr_{pi}Ib}{Iin}}={\frac {\beta _{0}Rp}{r_{pi}+Rp+(1+\beta _{0})Re}}}$

Om vi inför

${\displaystyle R_{B}=r_{pi}+(1+\beta _{0})Re\ }$

kan uttrycket förenklas till

${\displaystyle A_{I}=\beta _{0}{\frac {Rp}{Rp+R_{B}}}}$

vilket rätt intuitivt kan förstås då det ju går en del av inkommande ström genom Rp förutom till basen. Alltså blir effektiv Beta alltid något mindre vid användande av basmotstånd.

Baspotentialen är

${\displaystyle V_{B}=IbR_{B}=(Iin-Ib)Rp\ }$

detta ger

${\displaystyle V_{B}(1+{\frac {R_{B}}{Rp}})=IinR_{B}}$

och inresistansen blir då

${\displaystyle Ri={\frac {V_{B}}{Iin}}={\frac {RpR_{B}}{Rp+R_{B}}}}$

vilket helt enkelt är parallellkombinationen av ${\displaystyle R_{B}}$ och Rp. Enligt ekvation (2) hade vi inströmmen som funktion av basströmmen, denna ekvation ger nu naturligtvis även

${\displaystyle Ib=Iin{\frac {Rp}{Rp+R_{B}}}}$

Ekvation (1) ger samtidigt

${\displaystyle Vs=Iin(Rs+{\frac {RpR_{B}}{Rp+R_{B}}})}$

och då blir spänningsförstärkningen

${\displaystyle A_{V}=={\frac {Vo1}{Vs}}=-{\frac {\beta _{0}IbRc}{Vs}}=-{\frac {\beta _{0}Rc{\frac {Rp}{Rp+R_{B}}}}{Rs+{\frac {RpR_{B}}{Rp+R_{B}}}}}(3)}$

och om Rs är noll kollapsar ekvationen till

${\displaystyle A_{V}=-{\frac {\beta _{0}Rc}{R_{B}}}(4)}$

vilket fascinerande nog är samma uttryck som för en BJT utan basmotstånd!

Om man slutligen definierar

${\displaystyle Rin_{tot}=Rs+Ri\ }$

Kan vi på ett mycket enkelt sätt skriva (3) som

${\displaystyle A_{V}=-A_{I}{\frac {Rc}{Rin_{tot}}}}$

Här kan noteras att nedanstående upplaga av Physics Handbook får ifrågasättas. För att (3) ska gälla och inte kollapsa till (4) gäller att R_s måste vara skild från noll (vilket den alltid är i praktiken). Detta inses då en fullkomligt ideal signalkälla (R_s=0) gör att det kan gå hur mycket ström som helst genom R_p utan att baspotentialen och därmed spänningsförstärkningen påverkas.

Detta spelar faktiskt roll om man till exempel önskar förstärka en högimpediv pick-up's signal med ett par vanliga BJT:er (bipolära transistorer) i kaskad och inte m.h.a. differentialförstärkare modell operationsförstärkare.

Se även

• Rörförstärkare
• Katodföljare
• Emitterföljare
• BJT
• FET
• Operationsförstärkare

Källor

• Millman Jacob, Grabel Arvin, Microelectronics, Second Edition, 1988, Singapore
• Walter G. Jung, IC Op-Amp Cookbook, Third Edition, 1988, USA
• Carl Nordling, Jonny Österman and Studentlitteratur, Physics Handbook, Fourth Edition, 1987, Lund (F-4.4)

Referenser