Sigma-algebra

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2021-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

En σ-algebra (sigma-algebra) är ett matematiskt objekt som är av central betydelse för studier inom måtteori och integrationsteori.

Syftet med en sigma-algebra är att beskriva vilka delar av en given mängd X som går att mäta. En ofta använd strategi att lösa problem eller lära sig hur ett föremål är beskaffat, är att splittra upp det i mindre beståndsdelar för att därefter studera dessa separat. Det går det inte att splittra upp ett objekt i vilka delar som helst, utan dessa måste se ut på ett visst sätt. Den matematiska motsvarigheten till det sätt på vilket ett objekt får splittras, är en sigma-algebra. Genom att utesluta vissa "mycket konstiga" delmängder av X erhålls en sigma-algebra som är mycket lättare att hantera.

Formell beskrivning

En σ-algebra (sigma-algebra) över en mängd X är en familj ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ av delmängder av X som är sådan att

• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ är icke-tom: ${\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ är sluten under komplementsbildning: ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}\Rightarrow X\setminus E\in {\mathcal {A}}}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ är sluten under uppräkneliga unioner. Det innebär att om mängderna ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ tillhör ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, är deras union ${\displaystyle \cup _{i=1}^{\infty }U_{i}}$ också ett element i ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Om ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ är en sigma-algebra i X kallas ofta paret ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ett mätbart rum.

En viktig detalj att notera är att elementen i en sigma-algebra på X utgörs av delmängder till X, inte punkter i X.

Om vi exempelvis låter X vara två-punkts mängden X = { 0, 1 }, så kan en sigma-algebra på X vara familjen { Ø, X }; I denna sigma-algebra är mängden X ett element.

Snitt och unioner av sigma-algebror

Låt ${\displaystyle A}$ och ${\displaystyle B}$ vara två sigma-algebror på mängden X.

• Snittet ${\displaystyle A\cap B}$ är också en sigma-algebra på X. Den är en del-sigma-algebra av både ${\displaystyle A}$ och ${\displaystyle B}$.
• Unionen ${\displaystyle A\cup B}$ är inte nödvändigtvis en sigma-algebra på X.

Följande exempel visar att familjen ${\displaystyle A\cup B}$ inte behöver vara en sigma-algebra, bara för att familjerna ${\displaystyle A}$ och ${\displaystyle B}$ är det.

Tag mängden X = {0,1,2} och de två sigma-algebrorna A = { Ø, X, {0}, {1,2} } samt B = { Ø, X, {1}, {0,2} }. Unionen av dessa sigma-algebror är familjen

${\displaystyle A\cup B=\{\emptyset ,X,\{0\},\{1\},\{1,2\},\{0,2\}\}.}$

Om detta vore en sigma-algebra så skulle unionen, {0,1}, av mängderna {0} och {1} vara ett element i familjen ${\displaystyle A\cup B}$.

Sigma-algebra genererad av familj av delmängder

Låt C vara en godtycklig familj av delmängder till en mängd X. Det finns sigma-algebror, ${\displaystyle F_{i}}$, av olika storlekar som har familjen C som en del av sig:

${\displaystyle C\subseteq F_{i}.}$

Den minsta av dessa sigma-algebror kallas sigma-algebran genererad av familjen C och betecknas ${\displaystyle \sigma (C)}$; den är definierad som snittet av alla sigma-algebror som omfattar C:

${\displaystyle \sigma (C)=\bigcap _{i}F_{i}.}$

Exempel: Borel sigma-algebra

Ett exempel på en sigma-algebra som är genererad av en familj av delmängder ges av ett topologiskt rum (X,T): Objektet T är en familj av delmängder till X som besitter vissa egenskaper; för detaljer se artikeln Topologiskt rum. Sigma-algebran, σ(T), genererad av denna familj kallas Borel sigma-algebran på X.

Exempel: Produkt sigma-algebra

Låt ${\displaystyle (X,F)}$ och ${\displaystyle (Y,G)}$ vara två mätbara rum. På den cartesiska produkten ${\displaystyle X\times Y}$ skall en sigma-algebra konstrueras baserad på de tillgängliga sigma-algebrorna ${\displaystyle F}$ och ${\displaystyle G}$.

En första tanke kanske är att bilda familjen ${\displaystyle M}$ bestående av alla produkter ${\displaystyle A\times B}$, där A är ett element i F och B ett element i G:

${\displaystyle F\times G=\{A\times B:A\in F,B\in G\}}$

Denna familj behöver inte vara en sigma-algebra på ${\displaystyle X\times Y}$ bara för att F är en sigma-algebra på X och G är en sigma-algebra på Y, vilket följande exempel visar.

Låt ${\displaystyle F}$ = { Ø, X } vara den triviala sigma-algebran på X och ${\displaystyle G}$ = { Ø, Y } den triviala sigma-algebran på Y. Produkten av dessa familjer är familjen

${\displaystyle F\times G=\{\emptyset \times \emptyset ,\emptyset \times Y,X\times \emptyset ,X\times Y\}.}$

Om vi tar de två elementen ${\displaystyle A=\emptyset \times Y}$ och ${\displaystyle B=X\times \emptyset }$, så måste deras union

${\displaystyle A\cup B=\{\emptyset \times Y,X\times \emptyset \}}$

vara ett element i familjen om denna är en sigma-algebra på den cartesiska produkten ${\displaystyle X\times Y}$.

Den korrekta definitionen av produkt-σ-algebran på ${\displaystyle X\times Y}$ är som den minsta sigma-algebra som innehåller familjen ${\displaystyle F\times G}$ ovan; den vanligast förekommande beteckningen för denna är ${\displaystyle F\otimes G=\sigma (F\times G).}$

Sigma-algebra genererad av en avbildning

Låt ${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$ vara en avbildning från det mätbara rummet ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ till det mätbara rummet ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$. Detta innebär att familjen ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {G}})}$ är en delfamilj av sigma-algebran ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Elementen i denna familj ser ut på följande sätt:

${\displaystyle f^{-1}(G)=\{x\in X:f(x)\in G\},\qquad G\in {\mathcal {G}}.}$

De utgör en sigma-algebra på mängden X – faktum är att detta är den minsta sigma-algebra på X som gör f till en mätbar avbildning.

Man kallar den för sigma-algebran genererad av avbildningen f och skriver σ(f):

${\displaystyle \sigma (f)=f^{-1}({\mathcal {G}}).}$

Sigma-algebra genererad av flera avbildningar

Låt ${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$ och ${\displaystyle g:X\longrightarrow Y}$ vara två avbildningar från det mätbara rummet ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ till det mätbara rummet ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$.

Unionen ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {G}})\cup g^{-1}({\mathcal {G}})}$ av det två sigma-algebrorna ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {G}})}$ och ${\displaystyle g^{-1}({\mathcal {G}})}$ är inte nödvändigtvis själv en sigma-algebra på ${\displaystyle X}$; det är däremot sigma-algebran

${\displaystyle \sigma \left(f^{-1}({\mathcal {G}})\cup g^{-1}({\mathcal {G}})\right)}$.

Detta är den minsta sigma-algebra på X som gör både f och g till mätbara avbildningar. Man kallar detta för sigma-algebran genererad av avbildningarna f och g, och skriver

${\displaystyle \sigma (f,g)\,}$.

På samma sätt som ovan definierar man sigma-algebran ${\displaystyle \sigma ({f_{i}:i\in I})}$ genererad av avbildningar ${\displaystyle f_{i}:X\longrightarrow Y}$ från det mätbara rummet ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ till det mätbara rummet ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$.

Doob-Dynkins lemma

Låt f och g vara två avbildningar från det mätbara rummet ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ till det mätbara rummet ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$:

${\displaystyle f,g:X\longrightarrow Y.}$

Avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av f om, och endast om, det finns en mätbar avbildning F som "sammanbinder" avbildningarna f och g:

${\displaystyle g=F\circ f,\qquad F:Y\longrightarrow Y.}$

Skrivet på "matematiska":

${\displaystyle g\in \sigma (f)\quad \Longleftrightarrow \quad \exists \,F:g=F\circ f.}$

Bevis av Doob-Dynkins lemma

Antag att avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av avbildningen f:

${\displaystyle g^{-1}({\mathcal {G}})\subseteq f^{-1}({\mathcal {G}}).}$

Varje element ${\displaystyle A\in {\mathcal {G}}}$ motsvaras då av ett element ${\displaystyle B_{A}\in {\mathcal {G}}}$ som är sådant att

${\displaystyle g^{-1}(A)=f^{-1}(B_{A}).\,}$

Denna association definierar en mätbar avbildning, ${\displaystyle F:Y\longrightarrow Y}$ på mängden Y:

${\displaystyle F^{-1}(A)=B_{A},\quad A\in {\mathcal {G}}.}$

Denna avbildning "sammanbinder" de två avbildningarna f och g:

${\displaystyle g^{-1}(A)=f^{-1}(F^{-1}(A))=(F\circ f)^{-1}(A),\quad A\in {\mathcal {G}}.}$