Siegel–Walfiszs sats

Inom analytisk talteori är Siegel–Walfiszs sats, uppkallad efter Arnold Walfisz och Carl Ludwig Siegel, ett resultat relaterat till primtal i aritmetiska följder.^[1] Definiera

${\displaystyle \psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}\Lambda (n),}$

där ${\displaystyle \Lambda }$ är Mangoldtfunktionen och φ är Eulers fi-funktion.

Då säger satsen att givet vilket som helst reellt tal N finns det en positiv konstant C_N som beror enbart på N så att

${\displaystyle \psi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-C_{N}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right),}$

då (a, q) = 1 och

${\displaystyle q\leq (\log x)^{N}.}$

Anmärkningar

Konstanten C_N är inte effektivt beräknelig eftersom satsen själv är ineffektiv.

Från satsen kan vi härleda följande form av primtalssatsen för aritmetiska följder: Om vi för (a,q)=1 betecknar antalet primtal mindre eller lika store som x kongruenta a mod q med ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$, då är

${\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {{\rm {Li}}(x)}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-{\frac {C_{N}}{2}}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right)}$

där N, a, q, C_N och φ är som i satsen om Li betecknar logaritmiska integralen.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Siegel–Walfisz theorem, 20 december 2013.

Noter