Sfär

För andra betydelser, se Sfär (olika betydelser).
En 2-dimensionell projektion av en sfär

En sfär är en klotformad kropps yta. Alla punkter på en sfär befinner sig på samma avstånd till sfärens medelpunkt (centrum) – detta avstånd kallas radie och betecknas r.[1]

Sfärens area är

och det tillhörande klotets volym är

För den som vill lära sig formlerna utantill kan det underlätta att lägga på minnet att uttrycket för arean är volymuttryckets derivata med avseende på r.

Sfären är den minsta yta som kan omsluta en given volym. I naturen är exempelvis luftbubblor och vattendroppar (frånsett gravitation eller annan påverkan) klotformiga eftersom ytspänningen strävar efter att minimera ytan.

En sfär eller ett klot som omsluts av en cylinder har en volym som är 2/3 av cylinderns volym, vilket (tillsammans med formlerna för sfärens yta och volym) redan Arkimedes kände till.

Terminologi

Givet en punkt på en sfär, så kallas den punkt som ligger mittemot denna punkt på en rät linje genom centrum, för dess antipod. En cirkel som ligger på en sfär med samma radie och mittpunkt som sfären kallas en storcirkel. Varje storcirkel delar sfären i två halvklot, eller hemisfärer för himlakroppars halvor.

I likhet med jordytan betecknas ibland en speciell punkt på sfären för nordpol. Dess antipod kallas då sydpol, och storcirkeln mitt emellan kallas ekvator.

Analytisk geometri

Inom analytisk geometri beskrivs en sfärisk yta med radien r och centrum i punkten (x0, y0, z0), som alla punkter (x, y, z) i R3 sådana att

Alternativt kan sfären beskrivas genom en differentialekvation:

Hypersfärer

En sfär kan definieras för alla dimensioner. En sfär i Rn kan beskrivas med ekvationenerna

där är koordinaterna för Rn. Man talar om "n-dimensionell hypersfär", eller "n-hypersfär".

I synnerhet är då en sfär i ett 1-dimensionellt rum ett par punkter (r, -r), medan en sfär i ett 2-dimensionellt rum är en cirkel. Inom kosmologin är ett vanligt angreppssätt att betrakta universum som en 4-dimensionell hypersfär med tiden som radie och rummet som dess tredimensionella yta. På engelska kallas en sådan kropp ibland för glome, men 3-sphere är det vanligaste uttrycket.

Det visar sig att ytan av en sfär av radie r i ett n-dimensionellt euklidiskt rum (denna sfär kallas en (n-1)-dimensionell hypersfär) ges av formeln

där Γ är Eulers gammafunktion.

Referenser

Noter

  1. ^ Beddoe, Jennifer - Sphere: Definition & Formulas - Study.com. Retrieved 15 July 2015.

Media som används på denna webbplats

Question book-4.svg
Författare/Upphovsman: Tkgd2007, Licens: CC BY-SA 3.0
A new incarnation of Image:Question_book-3.svg, which was uploaded by user AzaToth. This file is available on the English version of Wikipedia under the filename en:Image:Question book-new.svg
Sphere wireframe 10deg 6r.svg
Författare/Upphovsman: Geek3, Licens: CC BY 3.0
Sphere wireframe - perspective projection of a sphere. The image shows lines, which are drawn as they were painted onto the surface of a sphere.

viewer distance from center: 6r
line distance: 10°
line width: 1°
axial tilt: 37.5°
rotation: 7.5°
base color: #22326b

all shapes are drawn with cubic bezier curves to an accuracy of 0.00001 of the radius.