Senära talsystemet

Senära talsystemet är ett talsystem med basen 6. Talsystemet är ett positionssystem med de sex siffrorna 0, 1, 2, 3, 4 och 5. För att påvisa att ett tal är skrivet i senära talsystemet kan man ha sänkt 6 efter talet, till exempel: 10₆ = 6₁₀.

Matematiska egenskaper

Senär multiplikationstabell
×	1	2	3	4	5	10
1	1	2	3	4	5	10
2	2	4	10	12	14	20
3	3	10	13	20	23	30
4	4	12	20	24	32	40
5	5	14	23	32	41	50
10	10	20	30	40	50	100

Senära talsystemet är användbart vid studium av primtal, eftersom alla primtal utom 2 och 3, slutar på 1 eller 5 i det senära talsystemet. De första primtalen uttryckt i det senära talsystemet är:

2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51, 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 201, 211, …

Det vill säga, varje primtal p större än 3, har modulära aritmetiska förbindelser med antingen p ≡ 1 eller 5 (mod 6); de slutiga siffrorna är antingen 1 eller 5. Detta bevisas genom motsägelse. För varje heltal n:

Om n ≡ 0 (mod 6), 6 | n
Om n ≡ 2 (mod 6), 2 | n
Om n ≡ 3 (mod 6), 3 | n
Omn ≡ 4 (mod 6), 2 | n

Dessutom, eftersom de fyra första primtalen (2, 3, 5 och 7) antingen är delare eller grannar till 6, tillhandahåller senära talsystemet enkla delbarhetstest för många tal.

Alla jämna perfekta tal (vilket alla kända perfekta tal är) förutom 6 har 44 som de två sista siffrorna när de uttrycks i det senära talsystemet, vilket bevisar det faktum att alla perfekta tal är på formen 2^p−1(2^p−1), där 2^p−1 är ett primtal.

Senära talsystemet är också den största talbasen r som inte har några totativer utöver 1 och r − 1, vilket gör dess multiplikationstabell mycket reguljär för talbasens storlek, vilket minimerar mängden arbete som krävs för att memorera tabellen. Denna egenskap maximerar sannolikheten att produkten av en heltalsmultiplikation slutar på 0, givet att ingen av dess faktorer gör det.

Bråk

Eftersom sex är produkten av de två första primtalen och är intilliggande till de två kommande primtalen, har många senära bråk enkla representationer:

Decimala talsystemet Basens primtalsfaktorer: 2, 5 Primtalsfaktorer av talbasen − 1: 3 Primtalsfaktorer av talbasen + 1: 11			Senära talsystemet Basens primtalsfaktorer: 2, 3 Primtalsfaktorer av talbasen − 1: 5 Primtalsfaktorer av talbasen + 1: 11
Bråk	Primfaktorer (av nämnaren)	Positionsrepresentation	Positionsrepresentation	Primfaktorer (av nämnaren)	Bråk
1/2	2	0,5	0,3	2	1/2
1/3	3	0,3333… = 0,3	0,2	3	1/3
1/4	2	0,25	0,13	2	1/4
1/5	5	0,2	0,1111… = 0,1	5	1/5
1/6	2, 3	0,16	0,1	2, 3	1/10
1/7	7	0,142857	0,05	11	1/11
1/8	2	0,125	0,043	2	1/12
1/9	3	0,1	0,04	3	1/13
1/10	2, 5	0,1	0,03	2, 5	1/14
1/11	11	0,09	0,0313452421	15	1/15
1/12	2, 3	0,083	0,03	2, 3	1/20
1/13	13	0,076923	0,024340531215	21	1/21
1/14	2, 7	0,0714285	0,023	2, 11	1/22
1/15	3, 5	0,06	0,02	3, 5	1/23
1/16	2	0,0625	0,0213	2	1/24
1/17	17	0,0588235294117647	0,0204122453514331	25	1/25
1/18	2, 3	0,05	0,02	2, 3	1/30
1/19	19	0,052631578947368421	0,015211325015211325	31	1/31
1/20	2, 5	0,05	0,014	2, 5	1/32
1/21	3, 7	0,047619	0,014	3, 11	1/33
1/22	2, 11	0,0045	0,01345242103	2, 15	1/34
1/23	23	0,0434782608695652173913	0,001322030441	35	1/35
1/24	2, 3	0,0416	0,013	2, 3	1/40
1/25	5	0,04	0,01235	5	1/41
1/26	2, 13	0,0384615	0,0121502434053	2, 21	1/42
1/27	3	0,037	0,012	3	1/43
1/28	2, 7	0,03571428	0,0114	2, 11	1/44
1/29	29	0,0344827586206896551724137931	0,01124045443151	45	1/45
1/30	2, 3, 5	0,03	0,01	2, 3, 5	1/50
1/31	31	0,032258064516129	0,010545	51	1/51
1/32	2	0,03125	0,01043	2	1/52
1/33	3, 11	0,03	0,01031345242	3, 15	1/53
1/34	2, 17	0,02941176470588235	0,01020412245351433	2, 25	1/54
1/35	5, 7	0,0285714	0,01	5, 11	1/55
1/36	2, 3	0,027	0,01	2, 3	1/100

Omvandlare

Bas	Namn
2	Binära talsystemet	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
3	Ternära talsystemet	1	2	10	11	12	20	21	22	100	101	102	110	111	112	120	121
4	Kvarternära talsystemet	1	2	3	10	11	12	13	20	21	22	23	30	31	32	33	100
5	Kvinära talsystemet	1	2	3	4	10	11	12	13	14	20	21	22	23	24	30	31
6	Senära talsystemet	1	2	3	4	5	10	11	12	13	14	15	20	21	22	23	24
7	Septenära talsystemet	1	2	3	4	5	6	10	11	12	13	14	15	16	20	21	22
8	Oktala talsystemet	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
9	Nonära talsystemet	1	2	3	4	5	6	7	8	10	11	12	13	14	15	16	17
10	Decimala talsystemet	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
11	Undecimala talsystemet	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	10	11	12	13	14	15
12	Duodecimala talsystemet	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10	11	12	13	14
13	Tridecimala talsystemet	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	10	11	12	13
14	Tetradecimala talsystemet	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	10	11	12
15	Pentadecimala talsystemet	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	10	11
16	Hexadecimala talsystemet	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10

Se även

Diceware – metod för att koda bas-6-värden i uttalbara lösenord

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Senary, 22 maj 2013.

Navigation

Navigering

Temaportaler