Selbergklass

Inom matematiken är Selbergklassen en klass av Dirichletserier som satisfierar axiom som verkar vara de essentiella egenskaperna satisfierade av de flesta L- och zetafunktioner. Klassen definierades av Atle Selberg i (Selberg 1992).

Definition

Den formella definitionen av Selbergklassen S är mängden av alla Dirichletserier

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

som konvergerar absolut för Re(s) > 1 och satisfierar följande fyra axiom:

• 1. Analytiskhet: funktionen (s − 1)^mF(s) är en hel funktion av ändlig ordning för något icke-negativt heltal m;

• 2. Ramanujans förmodan: a₁ = 1 och ${\displaystyle a_{n}\ll _{\epsilon }n^{\epsilon }}$ för varje ε > 0;

• 3. Funktionalekvation: det finns en gammafaktor av formen

${\displaystyle \gamma (s)=Q^{s}\prod _{i=1}^{k}\Gamma (\omega _{i}s+\mu _{i})}$

där Q är reell och positiv, Γ är gammafunktionen, ω_i är reella och positiva, μ_i är komplexa tal med icke-negativ reell del, samt att det finns ett så kallat rottal

${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ,\;|\alpha |=1}$

så att funktionen

${\displaystyle \Phi (s)=\gamma (s)F(s)\,}$

satisfierar

${\displaystyle \Phi (s)=\alpha \,{\overline {\Phi (1-{\overline {s}})}};}$

• 4. Eulerprodukt: För Re(s) > 1 kan F(s) skrivas som en produkt över primtalen:

${\displaystyle F(s)=\prod _{p}F_{p}(s)}$

med

${\displaystyle F_{p}(s)=\exp {\Big (}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{p^{n}}}{p^{ns}}}{\Big )}}$

och för något θ < 1/2

${\displaystyle b_{p^{n}}=O(p^{n\theta }).\,}$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Selberg class, 31 juli 2015.

Allmänna källor

• Selberg, Atle (1992), ”Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series”, Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989), Salerno: Univ. Salerno, s. 367–385  Reprinted in Collected Papers, vol 2, Springer-Verlag, Berlin (1991)
• Conrey, J. Brian; Ghosh, Amit (1993), ”On the Selberg class of Dirichlet series: small degrees”, Duke Mathematical Journal 72 (3): 673–693, doi:10.1215/s0012-7094-93-07225-0 
• Murty, M. Ram (1994), ”Selberg's conjectures and Artin L-functions”, Bulletin of the American Mathematical Society, New Series (American Mathematical Society) 31 (1): 1–14, doi:10.1090/s0273-0979-1994-00479-3 
• Murty, M. Ram (2008), Problems in analytic number theory, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, "206" (Second), Springer-Verlag, Chapter 8, doi:10.1007/978-0-387-72350-1, ISBN 978-0-387-72349-5 
• Ivić, Aleksandar (2013), The theory of Hardy's Z-function, Cambridge Tracts in Mathematics, "196", Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-02883-8