Satsen om den öppna avbildningen

Satsen om den öppna avbildningen eller Banach-Schauders sats är inom funktionalanalys ett mycket användbart resultat.

Banach-Schauders sats

Låt ${\displaystyle X}$ och ${\displaystyle Y}$ vara två Banachrum. Varje kontinuerlig, linjär och surjektiv operator, ${\displaystyle T:X\longrightarrow Y}$, är en öppen avbildning.

Satsens innebörd

En öppen avbildning skall jämföras med en kontinuerlig avbildning:

En avbildning ${\displaystyle T:X\longrightarrow Y}$ är kontinuerlig om den inversa bilden av en öppen mängd är en öppen mängd:

För varje öppen mängd ${\displaystyle U}$ i rummet ${\displaystyle Y}$ är den inversa bilden ${\displaystyle T^{-1}(U)\,}$ en öppen mängd i rummet ${\displaystyle X}$.

En avbildning ${\displaystyle T:X\longrightarrow Y}$ är öppen om varje bild av en öppen mängd är en öppen mängd:

För varje öppen mängd ${\displaystyle V}$ i rummet ${\displaystyle X}$ är bilden ${\displaystyle T(V)}$ en öppen mängd i rummet ${\displaystyle Y}$.

Banach-Schauders sats medför att öppna mängder i rummet ${\displaystyle X}$ svarar mot öppna mängder i rummet ${\displaystyle Y}$ och vice versa, om ${\displaystyle X}$ och ${\displaystyle Y}$ kan förbindas med en avbildning som är kontinuerlig, linjär och bijektiv. Ett annat sätt att uttrycka detta är att säga att de topologiska strukturerna på rummen ${\displaystyle X}$ och ${\displaystyle Y}$ är isomorfa och att avbildningen T är en homeomorfism: Att undersöka kontinuitetsegenskaper i rummet ${\displaystyle X}$ är detsamma som att undersöka kontinuitet i rummet ${\displaystyle Y}$ och vice versa.

Bevis av Banach-Schauders sats

Beviset bygger på Baires kategoriteorem och begreppet ingenstans-tät mängd.

Konsekvenser av Banach-Schauders sats

• Satsen om den slutna grafen