Rogers–Ramanujan-identiteterna

Inom matematiken är Rogers–Ramanujan-identiteterna två identiteter relaterade till q-hypergeometriska serier. De upptäcktes och bevisades ursprungligen av Leonard James Rogers (1894). Srinivasa Ramanujan återupptäckte dem något före 1913, men kunde inte bevisa dem. Ramanujan hittade senare Rogers artikel från 1917 och de publicerade tillsammans ett nytt bevis (Rogers & Ramanujan 1919). Issai Schur (1917) upptäckte och bevisade identiteterna senare oberoende av Rogers och Ramanujan.

Definition

Rogers–Ramanujan-identiteterna är

${\displaystyle G(q):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \,}$ (talföljd A003114 i OEIS)

och

${\displaystyle H(q):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+\cdots \,}$ (talföljd A003106 i OEIS)

där ${\displaystyle (\cdot ;\cdot )_{n}}$ är q-Pochhammersymbolen.

Modulära funktioner

Om q = e^2πiτ är q^−1/60G(q) och q^11/60H(q) modulära funktioner av τ.

Användningar

Rogers–Ramanujans kedjebråk är

${\displaystyle 1+{\frac {q}{1+{\frac {q^{2}}{1+{\frac {q^{3}}{1+\cdots }}}}}}={\frac {G(q)}{H(q)}}.}$

Se även

• Rogerspolynom

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Rogers–Ramanujan identities, 3 mars 2014.

Källor

• Rogers, L. J.; Ramanujan, Srinivasa (1919), ”Proof of certain identities in combinatory analysis.”, Cambr. Phil. Soc. Proc. 19: 211–216, Reprinted as Paper 26 in Ramanujan's collected papers 
• Rogers, L. J. (1892), ”On the expansion of some infinite products”, Proc. London Math. Soc. 24 (1): 337–352, doi:10.1112/plms/s1-24.1.337 
• Rogers, L. J. (1893), ”Second Memoir on the Expansion of certain Infinite Products”, Proc. London Math. Soc. 25 (1): 318–343, doi:10.1112/plms/s1-25.1.318 
• Rogers, L. J. (1894), ”Third Memoir on the Expansion of certain Infinite Products”, Proc. London Math. Soc. 26 (1): 15–32, doi:10.1112/plms/s1-26.1.15 
• Issai Schur, Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche, (1917) Sitzungsberichte der Berliner Akademie, pp. 302–321.
• W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
• George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
• Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan, Sen-Shan Huang, Soon-Yi Kang, Jaebum Sohn, Seung Hwan Son, The Rogers-Ramanujan Continued Fraction, J. Comput. Appl. Math. 105 (1999), pp. 9–24.
• Cilanne Boulet, Igor Pak, A Combinatorial Proof of the Rogers-Ramanujan and Schur Identities, Journal of Combinatorial Theory, Ser. A, vol. 113 (2006), 1019–1030.
• Slater, L. J. (1952), ”Further identities of the Rogers-Ramanujan type”, Proceedings of the London Mathematical Society. Second Series 54 (2): 147–167, doi:10.1112/plms/s2-54.2.147, ISSN 0024-6115 

Externa länkar

• Weisstein, Eric W., "Rogers-Ramanujan Identities", MathWorld. (engelska)
• Weisstein, Eric W., "Rogers-Ramanujan Continued Fraction", MathWorld. (engelska)