Ringen av heltal
Inom matematiken är ringen av heltal av en algebraisk talkropp K, ringen av alla heltalselement i K. Ett heltalselement är en rot av ett moniskt polynom med rationella heltalskoefficienter xn + cn−1xn−1 + … + c0 . Denna ring betecknas ofta med OK eller . Eftersom alla rationella heltal tillhör K och är dess heltalselement, så är ringen av heltal Z alltid en delring av OK.
Ringen Z är den enklaste ringen av heltal emedan Z = OQ där Q är kroppen av rationella tal.[1] Beroende på detta kallas elementen av Z ofta "de rationella heltalen" inom algebraisk talteori.
Ringen av heltal av en algebraisk talkropp är den unika maximala ordningen av talkroppen.
Egenskaper
Ringen av heltal OK är en ändligtgenererad Z-modul. Den är en fri Z-modul och har härmed en heltalsbas, det vill säga en bas b1, … ,bn ∈ OK av Q-vektor rummet K så att varje element x i OK har en unik representation
med ai ∈ Z.[2] Rangen n av OK som en fri Z-modul är lika med graden av K över Q.
Ringen av heltal i en talkropp är en Dedekinddomän.[3]
Se även
Referenser
Källor
- Israel Nathan Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, London 1964.
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Ring of integers, 8 juli 2014.
- Cassels, J.W.S. (1986). Local fields. London Mathematical Society Student Texts. "3". Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5
- Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, "322", Berlin: Springer-Verlag, , ISBN 978-3-540-65399-8
- Samuel, Pierre (1972). Algebraic number theory. Hermann/Kershaw