Riemanns xi-funktion

Riemanns xi-funktion ${\displaystyle \xi (s)}$ i det komplexa planet. Färgen på en punkt ${\displaystyle s}$ kodar värdet av funktionen. Mörkare färger anger värden närmare noll och nyans anger värdets argument.

Inom matematiken är Riemanns xi-funktion, uppkallad efter Bernhard Riemann, en variant av den mer kända Riemanns zetafunktion.

Definition

Riemanns xi-funktion definieras som

${\displaystyle \xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)}$

för ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ och där ζ(s) är Riemanns zetafunktion. Funktionalekvationen för xi är

${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s).}$

Speciella värden

För positiva heltal n är

${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {1}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n^{2}-n)(n-1)!}$

där B_n är det n-te Bernoullitalet. Exempelvis är

${\displaystyle \xi (2)={\pi \over 6}.}$

Några andra speciella värden är

${\displaystyle \xi (0)=\xi (1)=-\zeta (0)={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \xi (1/2)=-\zeta (1/2)\cdot {\frac {\Gamma (1/4)}{8\pi ^{\frac {1}{4}}}}=0,4971207781...}$ (talföljd A114720 i OEIS)

${\displaystyle \xi (3)={\frac {3}{2\pi }}\,\zeta (3)}$

${\displaystyle \xi (5)={\frac {15}{2\pi ^{2}}}\,\zeta (5).}$

Serierepresentation

Xi-funktionen har serierepresentationen

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}}$

där

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]}$

där summan går över de icke-triviala rötterna ρ av zetafunktionen, ordnade enligt ${\displaystyle |\Im (\rho )|}$.

Denna expansion har en viktig roll i Lis kriterium som säger att Riemannhypotesen är ekvivalent med att λ_n > 0 för alla positiva n.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Riemann Xi function, 17 december 2013.

• Weisstein, Eric W., "Xi-Function", MathWorld. (engelska)
• Keiper, J.B. (1992). ”Power series expansions of Riemann's xi function”. Mathematics of Computation 58 (198): sid. 765–773. doi:10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5.