Riemannintegral

Riemannintegral, skapad av Bernhard Riemann, var inom matematisk analys den första rigorösa definitionen av integraler. Det finns flera andra definitioner, bland annat Lebesgueintegralen, som har teoretiska fördelar, men är mer komplicerade.

Riemanns idé var att definiera integralen för begränsade funktioner f : [a,b] → ℝ med en "kolonnapproximation". Först delas [a,b] upp i mindre intervall och sedan väljs en punkt från varje intervall. Då fås en kolonn med intervallets bredd b – a och funktionen f:s värde i den utvalda punkten som höjd. En riemannsumma är summan av kolonnernas area. Riemannsummorna approximerar arean under en funktionskurva och riemannintegralen definieras som ett gränsvärde av riemannsummor.

Mer precist, partionera [a,b] så att ett antal mindre intervall bildas enligt

${\displaystyle \Delta _{i}=[c_{i-1},c_{i}]\subset [a,b]\,}$, ${\displaystyle i=1,2,...,n\,}$,

och välj en punkt ξ_i ∈ Δ_i. Då definierar paret

${\displaystyle (f(\xi _{i}),\Delta _{i})\,}$

en kolonn vars area är

${\displaystyle f(\xi _{i})\ell (\Delta _{i})\,}$

där ℓ är längden av intervallet:

${\displaystyle \ell (\Delta _{i})=\ell ([c_{i-1},c_{i}])=c_{i}-c_{i-1}}$.

En n-riemannsumma för f, n ∈ ℕ definieras som talet

${\displaystyle R_{n}(f):=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\ell (\Delta _{i})}$,

det vill säga som summan av alla kolonners areor. Riemannintegralen för funktionen f är talet

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx:=\lim _{n\rightarrow \infty }R_{n}(f)}$

det vill säga, bästa approximationen för arean under f:s funktionskurva.

Riemann definierade endast riemannintegralen i ℝ men metoden kan generaliseras till ℝⁿ med samma kolonnapproximation. Låt

${\displaystyle B=[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}]}$

vara ett n-rätblock i ℝⁿ och f : B → ℝ vara en begränsad funktion. Först partioneras B i n-rätblock

${\displaystyle B_{i}\subset B\,}$, ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n\,}$

och sedan väljs ξ_i = (ξ_i,1, …, ξ_i,n) ∈ B_i. Då definierar paret

${\displaystyle (f({\overline {\xi }}_{i}),B_{i})\,}$

en n-dimensionell kolonn vars mått är

${\displaystyle f({\overline {\xi }}_{i})V(B_{i})\,}$

där V är n-dimensionella volymen för rätblocket:

${\displaystyle V(B_{i})=V([c_{i,1},c_{i+1,1}]\times \ldots \times [c_{i,n},c_{i+1,n}])=\ell ([c_{i,1},c_{i+1,1}])\ldots \ell ([c_{i,n},c_{i+1,n}])=\prod _{k=1}^{n}(c_{i+1,k}-c_{i,k})}$

En n-riemannsumma för f, n ∈ ℕ definieras som talet

${\displaystyle R_{n}(f):=\sum _{i=1}^{n}f({\overline {\xi }}_{i})V(B_{i})}$,

det vill säga, som summan av alla kolonners storlek. Riemannintegralen för en funktion f är talet

${\displaystyle \int _{a_{1}}^{b_{1}}\int _{a_{2}}^{b_{2}}\ldots \int _{a_{n}}^{b_{n}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}:=\lim _{n\rightarrow \infty }R_{n}(f),}$

det vill säga, bästa approximationen för (n + 1)-dimensionella måttet under f:s funktionskurva.

• Lebesgueintegration
• Måtteori

• Wikimedia Commons har media som rör Riemannintegral.
  Bilder & media