Riemann–von Mangoldts formel

Inom matematiken är Riemann–von Mangoldts formel, uppkallad efter Bernhard Riemann och Hans Carl Friedrich von Mangoldt, en formel som beskriver distributionen av nollställena av Riemanns zetafunktion.

Formeln säger att om N(T) är antalet nollställen av zetafunktionen med imaginär del större än 0 och mindre eller lika stor som T är

${\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\log {T}).}$

Formeln upptäcktes av Riemann i hans berömda artikel Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (1859) och bevisades av von Mangoldt 1905.

Backlund ger en explicit formel för felet för alla T större än 2:

${\displaystyle \left\vert {N(T)-\left({{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}}-{\frac {7}{8}}\right)}\right\vert <0.137\log T+0.443\log \log T+4.350\ .}$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Riemann–von Mangoldt formula, 13 december 2013.

• Edwards, H.M. (1974). Riemann's zeta function. Pure and Applied Mathematics. "58". New York-London: Academic Press. ISBN 0-12-232750-0 
• Ivić, Aleksandar (2013). The theory of Hardy's Z-function. Cambridge Tracts in Mathematics. "196". Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02883-8 
• Patterson, S.J. (1988). An introduction to the theory of the Riemann zeta-function. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. "14". Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-33535-3