Residysatsen

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2022-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Residysatsen eller Cauchys residysats uttrycker ett samband mellan vissa linjeintegraler av en funktion och dess Laurentserieutvecklingar i funktionens singulära punkter.

Formulering

Antag att ${\displaystyle f}$ är analytisk innanför och på en enkel sluten kurva ${\displaystyle \gamma }$ förutom i ändligt många punkter ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$, då gäller:

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f;z_{k})}$, där integrationsvägen är tagen moturs.

där ${\displaystyle \operatorname {Res} (f;z_{k})}$ är residyn för f i ${\displaystyle z_{k}}$.

Ovanstående är ett ofta använt specialfall av en allmännare sats: Låt f vara analytisk i ett område U förutom i ändligt många punkter ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ och ${\displaystyle \gamma }$ vara en sluten kurva (inte nödvändigtvis enkel) som omsluter, men inte går igenom någon av punkterna ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$. Då gäller:

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f;z_{k})\operatorname {Ind} _{\gamma }(z_{k})}$

där ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\gamma }(z_{k})}$ är omloppstalet för kurvan ${\displaystyle \gamma }$ kring punkten ${\displaystyle z_{k}}$.