Residy

En residy är inom komplex analys ett tal som beskriver beteendet hos kurvintegraler av meromorfa funktioner runt en singulär punkt. Residyer är relativt lättberäknade och kan användas till att bestämma avancerade integraler via residysatsen.

Definition

Residyn av en meromorf funktion f vid en isolerad singularitet a är det entydigt bestämda komplexa talet R så att funktionen

${\displaystyle f(z)-{\frac {R}{z-a}}}$

har en analytisk primitiv funktion i den punkterade skivan 0 < |z - a| < δ

Residyn vid a kan även definieras som termen c_-1 i Laurentutvecklingen av f(z) kring a:

${\displaystyle \sum _{-\infty }^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}}$

Residyn av funktionen f i punkten a betecknas vanligen

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)}$

eller

${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=a}f(z).}$

Beräkning

Om f är analytisk i a, så

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)=0}$.

Om f har en enkel pol i a kan residyn beräknas med:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)=\lim _{z\to a}(z-a)f(z).}$

Om g och h är analytiska och f(z) = g(z)/h(z) har en enkel pol i a fås residyn av:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)={\frac {g(a)}{h'(a)}}}$

Generellt, om f har en pol av ordning m i punkten a:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)={\frac {1}{(m-1)!}}\lim _{z\to a}{\frac {d^{m-1}}{dz^{m-1}}}\left(f(z)(z-a)^{m}\right)}$

Man kan även beräkna funktionens Laurentserie och läsa av koefficienten c_-1.

Källor

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1 
• Saff, E.B.; A.D. Snider (2003). Fundamentals of Complex Analysis. Prentice Hall. ISBN 0-13-017968-X