Regelbundet yttre mått

Regelbundet yttre mått är ett koncept inom matematik, mer specifikt måtteori. Ett regelbundet yttre mått är ett mått om varje mängd kan approximeras med en mätbar mängd.

Definition

I måtteori är ett yttre mått ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$ i rummet ${\displaystyle X\,}$ regelbundet om det för varje ${\displaystyle A\subset X}$ finns en ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$-mätbar mängd ${\displaystyle B\supset A}$ så att

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\mu (B)\,.}$.

Om ${\displaystyle \mu ^{*}(X)<\infty }$ och ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$ är regelbundnet kan man visa att ${\displaystyle A\subset X}$ är ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$-mätbar om och endast om

${\displaystyle \mu ^{*}(A)+\mu ^{*}(\complement A)=\mu (X).}$.

Borelregelbundna yttre mått

Om ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,}$ är ett topologiskt rum så är ett yttre mått ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$ i ${\displaystyle X\,}$ ett Borelregelbundet yttre mått om det för varje ${\displaystyle A\subset X}$ finns en Borelmängd ${\displaystyle B\supset A}$ så att

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(B)\,.}$.

Exempel

Yttre Lebesguemåttet och Yttre Hausdorfmåttet är regelbundna och Borelregelbundna.

Se även

• Yttre mått