Ramanujans taufunktion

Inom matematiken är Ramanujans taufunktion, uppkallad efter Srinivasa Ramanujan, funktionen ${\displaystyle \tau :\mathbb {N} \to \mathbb {Z} }$ definierad som

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}=\eta (z)^{24}=\Delta (z),}$

där ${\displaystyle q=\exp(2\pi iz)}$ är så att ${\displaystyle \Im z>0}$ och ${\displaystyle \eta }$ är Dedekinds etafunktion.

De första värdena av taufunktionen ges i följande tabell (talföljd A000594 i OEIS):

Ramanujan (1916) observerade, men kunde inte bevisa, följande egenskaper av taufunktionen:

• ${\displaystyle \tau (mn)=\tau (m)\tau (n)}$ om ${\displaystyle sgd(m,n)=1}$ (det vill säga ${\displaystyle \tau (n)}$ är en multiplikativ funktion)
• ${\displaystyle \tau (p^{r+1})=\tau (p)\tau (p^{r})-p^{11}\tau (p^{r-1})}$ för primtal ${\displaystyle p}$ och ${\displaystyle r>0}$.
• ${\displaystyle |\tau (p)|\leq 2p^{11/2}}$ för alla primtal ${\displaystyle p}$.

De första två egenskaperna bevisades av Louis J. Mordell (1917) och den tredje, kallad för Ramanujan-Peterssons förmodan, bevisades 1974 av Pierre Deligne.

För ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ och ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$, definiera ${\textstyle \sigma _{k}(n)}$ som summan av ${\displaystyle k}$:te potenserna av delarna av ${\displaystyle n}$. Taufunktion uppfyller flera kongruensrelationer, många av dem kan uttryckas i termer av ${\textstyle \sigma _{k}(n)}$. Då gäller följande kongruenser:^[1]

1. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ för }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
2. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ för }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
3. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ för }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
4. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ för }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
5. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}{\text{ för }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3}$^[3]
6. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}{\text{ för }}n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3}$^[3]
7. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}{\text{ för }}n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5}$^[4]
8. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7{\text{ för }}n\equiv 0,1,2,4\ {\bmod {\ }}7}$^[5]
9. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}{\text{ för }}n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7}$^[5]
10. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.}$^[6]

För ${\displaystyle p\neq 23}$ primtal gäller:^[1][7]

11. ${\displaystyle \tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23{\text{ om }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1}$
12. ${\displaystyle \tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}{\text{ om }}p{\text{ är av formen }}a^{2}+23b^{2}}$^[8]
13. ${\displaystyle \tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ annars}}.}$