Radonmått

Radonmått är inom matematiken viktig typ av mått i topologiska rum. En intuitiv återgivning för Radonmått är att den mäter storlek av mängder. De viktigaste Radonmåtten är Lebesguemåttet, Hausdorffmåttet och Haarmåttet.

Definition

Låt ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ vara ett topologiskt rum. Borelmåttet ${\displaystyle \mu \,}$ i ${\displaystyle X\,}$ är ett Radonmått, om

• ${\displaystyle \mu (K)<\infty }$ för alla kompakt mängder ${\displaystyle K\subset X}$.
• ${\displaystyle \mu (U)=\sup\{\mu (K):K\subset U{\mbox{ och }}K\subset X{\mbox{ kompakt}}\}}$ för alla öppna mängder ${\displaystyle U\subset X}$.
• ${\displaystyle \mu (B)=\inf\{\mu (U):B\subset U{\mbox{ och }}U\subset X{\mbox{ öppen}}\}}$ för alla Borelmängder ${\displaystyle B\subset X}$.

Om ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})=(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {T}}_{|\cdot |})}$ är ett Borelmått är ${\displaystyle \mu \,}$ i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$ ett Radonmått om och endast om ${\displaystyle \mu \,}$ är ett lokalt ändligt mått, dvs

för alla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ existerar ${\displaystyle r_{x}>0\,}$ så att ${\displaystyle \mu (B(x,r))<\infty }$ för alla ${\displaystyle 0<r\leq r_{x}}$.

Applikationer

Man behöver Radonmåttet i funktionalanalys och geometrisk måtteori.

Karakterisation med funktionaler

Huvudartikel: Riesz representationssats.

Om ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ är ett lokalt kompakt Hausdorffrum, kan man karakterisera varje Radonmått i ${\displaystyle X\,}$ med funktionaler. Man kan visa att

${\displaystyle F:{\mathcal {C}}_{c}(X)\rightarrow \mathbb {R} }$

är en positiv linjär funktional om och endast om där finns ett Radonmått ${\displaystyle \mu \,}$ i ${\displaystyle X\,}$ så att

${\displaystyle F(f)=\int _{X}f\,d\mu }$

för alla ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{c}(X)}$. I litteraturen kallas ofta positiva linjära funktionaler Radonmått.

Hausdorffdimension

Huvudartikel: Frostmans lemma.

Om ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})=(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {T}}_{|\cdot |})}$ kan man karakterisera Hausdorffdimensionen för kompakt mängder med Radonmått. Låt ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ vara en kompakt mängd och ${\displaystyle s>0\,}$. Man kan visa att

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(K)>0\,}$

om och endast om det finns ett Radonmått ${\displaystyle \mu \,}$ i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$ så att

${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )\subset K}$, ${\displaystyle \mu (K)>0\,}$ och ${\displaystyle \mu (B(x,r))\leq c_{\mu }r^{s}}$

för alla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ och ${\displaystyle r>0\,}$ där ${\displaystyle c_{\mu }>0\,}$.

Se även

• Radonintegral
• Massfördelning

Referenser

• Schwartz, Laurent (1974), Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures, Oxford University Press, ISBN 0195605160