Kardinalitetmått

Ett kardinalitetmått eller räknemått är ett mått som mäter kardinaliteten för mängder. Kardinalitetmåttet används mestadels som ett enkelt exempel för mått men det också har tillämpningar i serieteori.

Definition

Låt ${\displaystyle X\,}$ vara en mängd. Kardinalitetmåttet för mängden är en funktion ${\displaystyle \mu :{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,\infty ]}$, definierad som:

${\displaystyle \mu (A)=\left\{{\begin{matrix}{\mbox{card}}(A),&{\textrm {om}}\ A{\mbox{ är ändlig}}\\+\infty ,&{\textrm {om}}\ A{\mbox{ är oändlig}},\end{matrix}}\right.}$

där card(A) är kardinaliteten för mängden A. Kardinalitetmåttet är ett mått.

Egenskaper

Det finns en koppling mellan kardinalitetmått och Diracmått: om ${\displaystyle A\subset X\,}$ så är

${\displaystyle \mu (A)=\sum _{x\in A}\delta _{x}(X).}$

Kardinalitetmått är nolldimensionella Hausdorffmått:

${\displaystyle \mu ={\mathcal {H}}^{0}.}$

Serieteori

Kardinalitetmåttet har tillämpningar i serieteori. Om ${\displaystyle X\,}$ är uppräknelig, d.v.s.

${\displaystyle X=\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \}\,}$,

är kardinalitetmåttets måttintegral en serie: om ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} \,}$ är

${\displaystyle \int _{X}\,f\,d\mu =\sum _{i=1}^{\infty }f(x_{i}).}$

Alltså f är integrerbar om och endast om serien ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }f(x_{i})}$ är absolutkonvergent.

Detta innebär också att vi man kan bevisa Hölders olikhet och Minkowskis olikhet för serier med L^p-normens Hölders och Minkowskis olikheter som är till för integraler.

Referenser

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950