q-Pochhammersymbolen

q-Pochhammersymbolen är en q-analogi av Pochhammersymbolen. Den definieras som

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}$

och

${\displaystyle (a;q)_{0}=1.}$

Q-Pochhammersymbolen är väldigt viktig inom q-analogteori och q-serier.

Identiteter

q-Pochhammersymbolen kan skrivas som en oändlig produkt:

${\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}$

och på det viset definieras för negativa heltal n. Om n är positiv är då

${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}}$

och

${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}$

q-Pochhammersymbolen förekommer i flera q-serieidentiteter:

${\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}$

och

${\displaystyle {\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}}}$,

som är båda specialfall av q-binomialsatsen:

${\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}$

Relation till partitioner

q-Pochhammersymbolen är nära relaterad till kombinatoriska teorin av partitioner. Koefficienten av ${\displaystyle q^{m}a^{n}}$ i

${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}}$

är antalet partitioner av m i högst n delar.

Eftersom, genom konjugering av partitioner, är detta samma antalet partitioner av m i delar som är högst n, får vi att genererande funktionerna är identiska:

${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}}$

som i sektionen ovan.

Relation till andra q-funktioner

Eftersom

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n}$

kan q-analogin av n definieras som

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$

Med hjälp av det här går det att definiera q-analogin av fakulteten, q-fakulteten, som

${\displaystyle {\big [}n]_{q}!}$	${\displaystyle =\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}}$
	${\displaystyle =[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n-1]_{q}[n]_{q}}$
	${\displaystyle ={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}}$
	${\displaystyle =1(1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})(1+q+\cdots +q^{n-1})}$
	${\displaystyle ={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}$

Med hjälp av q-fakulteten kan man definiera q-binomialkoefficienterna, även kända som Gaussiska koefficienterna, Gaussiska polynomen samt Gaussiska binomialkoefficienterna, som

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}$

Man kan lätt kontrollera att

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}.}$

q-Analogin av gammafunktionen, q-gammafunktionen, definieras som

${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}.}$

Den satisfierar identiteterna

${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)\,}$

för alla x och

${\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]_{q}!{\frac {}{}}.}$

för alla icke-negativa heltal n.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Q-Pochhammer symbol, 16 november 2013.