Ptolemaios sats

Ptolemaios sats är en sats inom euklidisk geometri om sambandet mellan de fyra sidorna och de två diagonalerna i en cyklisk fyrhörning (en fyrhörning som kan inskrivas i en cirkel). Satsen är uppkallad efter den grekiske astronomen och matematikern Klaudios Ptolemaios som beskrev den i Almagest bok 1, kapitel 10.^[1] Ptolemaios utnyttjade satsen för att beräkna kordor till en tabell som han använde i sitt astronomiska arbete. Satsen säger:

Om en fyrhörning är cyklisk så är produkten av diagonalernas längder lika med summan av produkterna av de motstående sidornas längder. För den cykliska fyrhörningen ${\displaystyle ABCD}$ (se figur till höger) gäller alltså:^[2]

${\displaystyle |{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {BC}}|\cdot |{\overline {AD}}|.}$

Omvändningen till satsen gäller också: Om produkten av en fyrhörnings diagonaler är lika med summan av produkterna av de motstående sidorna, så är fyrhörningen cyklisk.

Ptolemaios sats kan bevisas på flera olika sätt.

Vi har en cyklisk fyrhörning ${\displaystyle ABCD}$. I en sådan är vinkeln mellan en sida och en diagonal lika med vinkeln mellan den motstående sidan och den andra diagonalen. Alltså är ${\displaystyle \angle BAC=\angle BDC}$ (blå) och ${\displaystyle \angle ADB=\angle ACB}$ (grön) i figur 1. Välj punkten ${\displaystyle K}$ på ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ så att ${\displaystyle \angle CBD=\angle ABK}$ (orange). Eftersom ${\displaystyle \angle ABK+\angle CBK=\angle CBA=\angle CBD+\angle ABD=\angle ABK+\angle ABD}$ så är ${\displaystyle \angle CBK=\angle ABD}$. Vi har nu två par av likformiga trianglar: dels ${\displaystyle \triangle ABK}$ och ${\displaystyle \triangle BCD}$ (figur 2) och dels ${\displaystyle \triangle ABD}$ och ${\displaystyle \triangle BCK}$ (figur 3). Eftersom trianglarna är likformiga får vi ur figur 2 att

${\displaystyle {\frac {|{\overline {AK}}|}{|{\overline {AB}}|}}={\frac {|{\overline {CD}}|}{|{\overline {BD}}|}}\quad \Leftrightarrow \quad |{\overline {AK}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {CD}}|\cdot |{\overline {AB}}|}$

och ur figur 3 får vi på samma sätt att

${\displaystyle |{\overline {CK}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|.}$

Genom att addera dessa två uttryck får vi

${\displaystyle |{\overline {AK}}|\cdot |{\overline {BD}}|+|{\overline {CK}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {CD}}|\cdot |{\overline {AB}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|\quad \Leftrightarrow }$

${\displaystyle (|{\overline {AK}}|+|{\overline {CK}}|)\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {CD}}|\cdot |{\overline {AB}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|.}$

Men ${\displaystyle |{\overline {AK}}|+|{\overline {CK}}|=|{\overline {AC}}|}$, vilket ger

${\displaystyle |{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {BC}}|\cdot |{\overline {AD}}|.}$

Om vi med ${\displaystyle O}$ avser den omskrivna cirkelns medelpunkt, med ${\displaystyle R}$ dess radie och med ${\displaystyle 2\alpha }$, ${\displaystyle 2\beta }$ och ${\displaystyle 2\gamma }$ avser de tre vinklarna ${\displaystyle \angle AOB}$, ${\displaystyle \angle BOC}$ respektive ${\displaystyle \angle COD}$ i figuren till höger ser vi att:

${\displaystyle |AB|=2R\sin \alpha }$,

${\displaystyle |BC|=2R\sin \beta }$,

${\displaystyle |CD|=2R\sin \gamma }$,

${\displaystyle |AD|=2R\sin(\alpha +\beta +\gamma )}$,

${\displaystyle |AC|=2R\sin(\alpha +\beta )}$ och

${\displaystyle |BD|=2R\sin(\beta +\gamma ).}$

Formeln i satsen kan alltså, efter att vi förkortat bort ${\displaystyle 4R^{2}}$, skrivas som:

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )\sin(\beta +\gamma )=\sin \alpha \sin \gamma +\sin \beta \sin(\alpha +\beta +\gamma )}$

Genom att använda additionsformlerna ${\displaystyle \sin(x+y)=\sin {x}\cos y+\cos x\sin y}$ och ${\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}$ samt trigonometriska ettan i formen ${\displaystyle \sin ^{2}\beta =1-\cos ^{2}\beta }$ fås att båda sidor är lika med

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \cos \beta \cos \gamma +\sin \alpha \cos ^{2}\beta \sin \gamma +\cos \alpha \sin ^{2}\beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \beta \sin \gamma }$

och satsen är därmed bevisad.

• Wikimedia Commons har media som rör Ptolemaios sats.
  Bilder & media