Produktmått är inom matematiken en typ av mått som är en produkt av andra mått.
Produkt-sigma-algebra
Låt , , vara en familj av mätbara rum. Indexmängden kan vara en godtycklig mängd - även ouppräknelig. Låt X vara en cartesisk produkt av mängderna , dvs
En mängd är en kon om det finns en ändlig mängd och mängder , , så att
Med andra ord är konen en produkt:
där
d.v.s. bara ett ändlig antal av är icke-.
En kon är en mätbar kon om
för alla .
Låt vara en familj av alla mätbara koner.
En produkt-sigma-algebra, , är en sigma-algebra genererad av alla mätbara koner. Mer precist, en produkt-sigma-algebra är
Detta innebär att produkt-sigma-algebran är den minsta av de sigma-algebror som har alla mätbara koner som en del av sig.
När är en ändlig mängd betecknas ofta produkt sigma-algebran
Produktmått
Man definierar produktmåttet med hjälp av mätbara koner.
Låt , , vara en familj av sigma-ändliga måttrum. Man behöver sigma-ändlighet här eftersom produktmåttet inte är unikt med icke-sigma-ändliga måttrum.
För en kon
definiera ett "mått"
Den här funktionen är sigma-additiv och . Tyvärr är det inte ett mått eftersom mätbara koner inte bildar en sigma-algebra.
Å andra sidan det går att visa att bildar en algebra, dvs
- och
- .
Dessutom är produkt sigma-algebran genererad av en algebra . Därför, med Carathéodorys utvidgningsats, innebär detta att det finns en unik utvidgning, , för funktionen som är ett mått, som kallas produktmåttet. Det är ofta betecknat
så att en trippel
är ett måttrum.
När är en ändlig mängd går det ofta att beteckna produktmåttet
Exempel
Lebesguemåttet i , när , är inte ett produktmått. Intuitionen sägar att
men det är inte så för alla Lebesguemätbara mängder. Till exempel låt och vara en icke-Lebesguemätbar mängd. Så att mängden
är -mätbar eftersom
- .
Å andra sidan det är icke -mätbar eftersom
- .
Så att
Å andra sidan är Lebesguemåttet produktmåttet när man bara använder Borelmängder. Det går att visa att
och för alla -mätbara koner
- .
Så att
eftersom produktmåttet är en unik utvidgning.
Fubinis sats
En viktig tillämpning för produktmåttet är Fubinis sats. Det sägar att man kan ändra integrerordningen. Låt och vara sigma-ändliga måttrum och vara produktmåttet.
Fubinis sats säger att om är integrerbar med avseende på produktmåttet , dvs
så är
Se även
Referenser
- P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950.