Produkt (matematik)

Produkt är resultatet av multiplikation för olika matematiska objekt.

Produkt av tal

Resultat av en multiplikation

Resultatet av en multiplikation kallas produkt. I uttrycket

${\displaystyle a\cdot b=c}$

kallas a och b faktorer medan c kallas produkt.^[1]

Produkttecken

Om ett större antal faktorer ska multipliceras ihop, kan produkten ibland skrivas förkortat.

${\displaystyle \prod _{k=a}^{b}f(k)}$

betyder produkten av alla faktorer f(k) där k varierar från a till b. Tecknet ∏ är den grekiska bokstaven pi och kallas här produkttecken. Produktnotationen är särskilt användbar beträffande produkter med oändligt eller okänt antal faktorer.

Som exempel kan produkten

${\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot n}$,

det vill säga n-fakultet, skrivas

${\displaystyle n!=\prod _{x=1}^{n}x}$.

Produkt av vektorer

Vektorer kan multipliceras till skalärprodukter och vektorprodukter (till exempel en kryssprodukt).^[2] Inom funktionalanalysen kan ett funktionsrum definiera en inre produkt och en yttre produkt.

Cartesisk produkt

Produkten (även kallad den cartesiska produkten) av två mängder ${\displaystyle A}$ och ${\displaystyle B}$ är mängden av alla ordnade par (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$) vars första element ${\displaystyle a}$ finns i ${\displaystyle A}$ och vars andra element ${\displaystyle b}$ finns i ${\displaystyle B}$. Produkten av ${\displaystyle A}$ och ${\displaystyle B}$ skrivs ${\displaystyle A\times B}$, så definitionen kan sammanfattas ${\displaystyle A\times B=\{(a,b):a\in A\land b\in B\}}$.^[3]

Man kan också bilda cartesiska produkter av ett större antal mängder. Produkten A × B × C av de tre mängderna A, B och C består av alla trippler (a,b,c), där a ∈ A, b ∈ B och c ∈ C. Allmänt gäller att om (M_i)_i∈I är en familj av mängder över en indexmängd av godtycklig storlek, så definieras den cartesiska produkten av denna familj genom

${\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:x_{i}\in M_{i}{\hbox{ för }}i\in I\}}$.

När indexmängden består av de n första positiva heltalen, alltså I = { 1, 2, ..., n}, så skrivs produkten hellre som

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}M_{i}=M_{1}\times \ldots \times M_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in M_{i}{\hbox{ för }}i=1,\ldots ,n\}}$.

Formellt sett torde till exempel A × B × C, (A × B) × C och A × (B × C) vara olika mängder, eftersom oftast (a,b,c), ((a,b),c) och (a,(b,c)) definieras på ett sådant sätt att de är olika. I praktiken behandlar man dock i allmänhet dessa som samma mängd genom att man identifierar trippeln och de två "blandade" paren.

Produkten A × A kan också skrivas A², A × A × A skrivs också A³, och så vidare. En vanlig tillämpning är beteckningen för reella talplanet, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ eller R².

Exempel:

• {a, b, c} × {d, e} = {(a, d), (a, e), (b, d), (b, e), (c, d), (c, e)}

Referenser

Noter

Källor

• Thompson, Jan; Thomas Martinsson (1991). Wahlström & Widstrands matematiklexikon. Wahlström & Widstrand. ISBN 91-46-16515-0 

Se även

För tal:

• Tom produkt
• Räknesätt
• Aritmetik
• Summa
• Differens
• Kvot

För mängder:

• Mängdoperation
• Mängdteori
• Produktmetoden